南瓜讲数学系列之中考专题120202020 中考专题中考专题 1010最值问题之阿氏圆最值问题之阿氏圆班级班级姓名姓名. .【模型解析模型解析】“阿氏圆阿氏圆”模型模型-“PBkPA”型最值型最值条件：条件：A A、B B 为定点为定点,P,P 为为O O 上一个动点上一个动点, ,kOBOP( (10 k).).问题问题: :求求PBkPA的最小值的最小值, ,并画出点并画出点 P P 的位置的位置. .方法方法：连接 OP,OB.在 OB 上取点 C,使kOPOC.易证得POCBOP,所以kOBOPPBCP,所以PBkCP. .所以ACCPPAPBkPA, ,当 P 为 AC 与O 的交点时，PBkPA的最小值为 AC.【例题分析例题分析】例例 1.在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3，点 D 为ABC 内一动点，满足 CD=2，求 AD+32BD的最小值。例例 2.问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP、BP，求 AP+12BP 的最小值.P P南瓜讲数学系列之中考专题2尝试解决：尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使CD=1，则有12CDCPCPCB，又PCD=BCP，PCDBCP，12PDBP，PD=12BP，AP+12BP=AP+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP 的最小值为.自主探索自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP 的最小值为.拓展延伸拓展延伸： 已知扇形 COD 中， COD=90， OC=6， OA=3， OB=5， 点 P 是弧 CD 上一点， 求 2PA+PB的最小值.【巩固训练巩固训练】1.如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，圆 C 半径为 2，点 P 为圆上一动点，连接 AP，BP，AP+21BP 最小值为。图 1图 2图 32.如图 2，在 RtABC 中，B=90，AB=CB=2，以点 B 为圆心作圆 B 与 AC 相切，点 P 为圆 B 上任一动点，则 PA+22PC 的最小值是。3.如图3， 已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点， PA=3， 求PC+21PD的最小值为。南瓜讲数学系列之中考专题34.如图 4，已知圆 O 半径为 1，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧 AB 上一动点试求22PC+PD的最小值。图 45.如图 5，已知点 A（4，0） ，B（4，4） ，点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，试求21AP+BP 的最小值。图 56.如图 6，已知点 A（-3，0）,B（0,3） ，C（1，0） ，若点 P 为圆 C 上的一点，试求：（1）41AP+BP 的最小值；（2）PABS的最小值.图 6南瓜讲数学系列之中考专题47.如图 7， 抛物线cbxxy2与直线 AB 交于 A （-4， -4） ， B （0， 4） 两点， 直线 AC：621xy交 y 轴于点 C，点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G（1）求抛物线cbxxy2的表达式；（2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标；（3）在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H 的坐标；在的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为圆 E 上一动点，求21AM+CM 的最小值。图 7南瓜讲数学系列之中考专题520202020 中考专题中考专题 1010最值问题之阿氏圆最值问题之阿氏圆参考答案参考答案例例 1.分析分析：由 C 为定点 D 为动点可知 CD 的运动轨迹为以 C 为圆心半径为 2 的圆。此时32CBCD,符合所需要寻找的比值 k，在构造母子型相似根据比例求出需要截取的长度即可，在 CB 上截取 CM使得 CM=34，由相似可知32BD=MD，所要求解的 AD+32BD 转化为求 AD+MD 的长度，根据两点之间线段最短，即当 M、D、A 三点共线时最短，即可求出所求。解：解：在 CB 上截取 CM 使得 CM=34，32CBCD，32234CDCM，DCM=BCDDCMBCD32BDMDCBCD，即 MD=32BDAD+32BD=AD+MD，根据两点之间线段最短，即当 M、D、A 三点共线时最短连接 AM 交圆 O 于 D点，即 AM 是所要求作的长度。即由勾股定理 AM=22ACCM 224343104例 2：(1)如图 1，连结 AD，AP+12BP=AP+PD,要使 AP+12BP 最小，AP+AD 最小，当点 A，P，D 在同一条直线时，AP+AD 最小，即：AP+12BP 最小值为 AD，在 RtACD 中，CD=1，AC=6，AD=37，AP+12BP 的最小值为37,故答案为37；(2)如图 2，连接 CP,在 CA 上取点 D,使 CD=23，CD：CP=CP：CA=1：3，PCD=ACP，PCDACP， PD：AP=1： 3， PD=13AP， 13AP+BP=BP+PD， 同(1)的方法得出13AP+BP的最小值为 BD=2373.故答案为：2373；(3)如图 3，延长 OA 到点 E，使 CE=6，OE=OC+CE=12，连接 PE、OP，OA=3，OA：OP=OP：OE=1：2，AOP=AOP，OAPOPE，AP：EP=1：2，EP=2PA，2PA+PB=EP+PB，当 E. P、B 三点共线时,取得最小值为：BE=13.南瓜讲数学系列之中考专题6【巩固训练】1.提示：提示：构造PMC BPC第 1 步：将系数不为 1 线段的两个端点分别与圆心 C 相连接，即：连接 CP、CB；第 2 步：计算出两条线段 CP、CB 的长度；第 3 步：计算这两条线段长度的比2142CBCP;第 4 步：在 OB 上取点 M，使得21CPCM，CM=1；第 5 步：连接 AM，与圆 C 交点即为点 P.其中21BPPMCPCMCBCPPM=21BP，AP+21BP=AP+PM=37.即：当 A、P、M 三点共线时最小。2.构造BPM BCP第 1 步：将系数不为 1 线段的两个端点分别与圆心 B 相连接，即：连接 BP、CB；第 2 步：计算出两条线段 BP、CB 的长度；第 3 步：计算这两条线段长度的比22CBBP第 4 步：在 BC 上取点 M，使得22BPBM，BM=1；第 5 步：连接 AM，与圆 B 交点即为点 P.其中22PCPMBPBMCBBPPM=22PC南瓜讲数学系列之中考专题7PA+22PC=AP+PM=5.即：当 A、P、M 三点共线时最小。3.第 1 步：绘制 P 点运动轨迹，将系数不为 1 线段的两个端点分别与圆心 A 相连接，即：连接 AP、PD；第 2 步：计算出两条线段 AP、PD 的长度；第 3 步：计算这两条线段长度的比2163ADPA第 4 步：在 AD 上取点 M，使得21APAM，AM=23；第 5 步：连接 CM，与圆 A 交点即为点 P.其中21DPMPAPAMADAPPM=21PDPC+21PD=CP+PM=215即：当 C、P、M 三点共线时最小。4.解：如图，当 A、P、D 共线时，22PC+PD 最小。理由：连接 PB、CO，AD 与 CO 交于点 M，AB=BD=4，BD 是切线，ABD=90，BAD=D=45，AB 是直径，APB=90PAB=PBA=45，PA=PB，POAB，AC=PO=2，ACPO四边形 AOPC 是平行四边形，OA=OP，AOP=90，四边形 AOPC 是正方形，PM=22PC，22PC+PD=PM+PD=DM，DMCO，此时22PC+PD 最小=AD-AM=232-245.解：如图，取点 K（1,0） ，连接 OP、PK、BK。OP=2，OA=4，OK=1，21OPOKOAOP，POK=AOP，南瓜讲数学系列之中考专题8POKAOP， 21OAOPPAPK，PK=PA21， PB+PA21=PB+PK，在PBK 中，PB+PKBK，PB+PA21=PB+PK 的最小值为 BK 的长，B（4,4） ，K（1,0） ，BK=54322因此，本题的正确答案是 5.6.（1）4173；（2）6-2234.（1）将 A（-4，-4） ，B（0,4）代入表达式，联立解得 b=-2，c=4，抛物线表达式为422xxy联立解得 k=2，b=4，42 xy，点 E 在直线 AB 上，设 E（m，2m+4） ，则 G（m，42-2 mm）已知 OBGE，当四边形 GEOB 为平行四边形时，有 OB=GE=4，即442-42-2mmm，解得 m=-2，G（-2,4）（3）设 E（m，2m+4） ，F（m，21-m-6） ，如图所示，过 A 作 ANEF 交 EF 于 N，过 H 作 HDEF 交 EF 于 D，四边形 AFHE 为矩形时，有AFNHED，所以 AN=HD，有-（-4）-（-m）=-m，解得 m=-2，E（-2,0） ，F（-2，-5） ，A（-4，-4） ，所以有 ED=FN=5-4=1，D（-2，-1）H（0，-1）由可知，E（-2,0） ，H（0，-1） ，A（-4，-4）EH=5，AE=52.如图所示，设 AE 交圆 E 于 G，取 EG 中点 P，G 为 AE 中点，根据 A、E 的坐标可得 G（-3，-2） （利用比例关系）当 M 在圆 E 上运动时，PE=25.连接 PC 交圆 E 于 M，连接 EM，EM=EH=5。21525MEPE，21525AEME，且PEM=MEA，PEMMEA，南瓜讲数学系列之中考专题921AEMEAMPM，即 PM=21AM，21AM+CM=PM+CM。根据“两点之间线段最短” ，可知21AM+CM 的最小值为 PC。P 是 EG 的中点，根据 E，G 的坐标可求得 P（2125，） ，又 C（0，-6） ，PC=255612522，即求得21AM+CM 的最小值为255。