设设 X 为为 B*空间，考虑空间，考虑 X*上的拓扑上的拓扑 (1) 强收敛，将强收敛，将 X*看作普通的看作普通的 Banach 空间；空间； (2) 弱收敛，同上；弱收敛，同上； (3) *弱收敛，记作弱收敛，记作 fn f0，指对，指对?x?X， fn(x) f0(x)， (n )。 * *弱拓扑弱拓扑 w* 性质：强收敛性质：强收敛 ?弱收敛弱收敛?*弱收敛弱收敛。 引入引入*弱收敛的好处：弱收敛的好处：X?X*，这里并不需要，这里并不需要涉及到涉及到 X*的结构。的结构。 如讨论如讨论 L0，1 上的收敛性时考虑上的收敛性时考虑 L10，1显然要比显然要比 L0，1* 要简单得多。要简单得多。 又如又如 (l1)* = l，(l)* l1， * *弱拓扑弱拓扑 由于有界线性泛函是特殊的有界线性算子，利由于有界线性泛函是特殊的有界线性算子，利用用Banach-Steinhaus定理立即可得定理立即可得 定理定理1：设：设 X 是一个是一个 B* 空间，空间， 。则则 当且仅当如下两个条件成立：当且仅当如下两个条件成立： (1) xn有界，即存在有界，即存在 K0，使得，使得 (2) 存在存在 X* 中的一个稠密子集中的一个稠密子集 M*，使得，使得 |nxKn?， ；nxXxX?，wnxx? ? ?lim()( )*nnf xf xfM? ? ?， 。定理定理2：设：设 X 是一个是一个 B 空间，空间， 。则则 当且仅当如下两个条件成立：当且仅当如下两个条件成立： (1) fn有界，即存在有界，即存在 K0，使得，使得 (2) 存在存在 X 中的一个稠密子集中的一个稠密子集 M，使得，使得 ? 若若 X 为为 B*空间，结论是否成立？空间，结论是否成立？ ? “?”成立，“”成立，“?”？ |nfKn?， ；*nfXfX?，*wnff? ? ?lim( )( )nnfxf xxM? ? ?， 。设设 X 为为 B* 空间，称空间，称 X 的子集的子集 A 弱列紧，若弱列紧，若 A 中的任意点列含有一个弱收敛子列。中的任意点列含有一个弱收敛子列。 称称 X* 的子集的子集 M *弱列紧，若弱列紧，若 M 中的任意点列中的任意点列含有一个含有一个*弱收敛子列弱收敛子列。 定理定理3：设设 X 为可分的为可分的 B* 空间，则空间，则 X* 上的任上的任意有界点列意有界点列 fn 必有必有*弱收敛的子列。弱收敛的子列。 证明：设点列证明：设点列xm在在 X 中稠密。由于中稠密。由于 fn有界，有界，可知集合可知集合 fn(x1) 有界。因此，存在有界。因此，存在fn 的子列的子列fn(1)，使得，使得 fn(1) (x1) 收敛。收敛。 类似地，对于类似地，对于 x2，存在存在fn(1) 的子列的子列 fn(2)，使，使得得 fn(2) (x2) 收敛。收敛。 通过对角线原理可取得通过对角线原理可取得fn 的子列记作的子列记作gk，使得对任意使得对任意m， gk (xm)收敛。收敛。 定理定理3：设：设 X 为可分的为可分的 B* 空间，则空间，则 X* 上的任上的任意有界点列意有界点列 fn 必有必有*弱收敛的子列。弱收敛的子列。 证明：定义证明：定义 g? ?X*如下如下 (1) (2) 由于由于 gn 有界，可知有界，可知 (3) 将将 g 连续延拓到连续延拓到 X 上上(Th 2.3.12) 于是，定理于是，定理2条件条件(1)、(2)成立，可知成立，可知 ()lim()mnmng xgxm?， | ()| sup|mnmng xgxm?， *limnngwg?定理定理3：设：设 X 为可分的为可分的 B* 空间，则空间，则 X* 上的任上的任意有界点列意有界点列 fn 必有必有*弱收敛的子列。弱收敛的子列。 证明：也可如下计算证明：也可如下计算(参照参照Th 2.3.12的充分性的充分性) 设设 | gn | ? C，? n。对任意。对任意 x?X， | gn(x) - g(x) | ? | gn(x) - gn(xm) | + | gn(xm) - g(xm) | + | g(xm) - g(x) | ? (C+|g|)|x - xm | + | gn(xm) - g(xm) | 定理定理3：设：设 X 为可分的为可分的 B* 空间，则空间，则 X* 上的任上的任意有界点列意有界点列 fn 必有必有*弱收敛的子列。弱收敛的子列。 证明：证明：? ? 0，取，取 xm 满足满足 ， 则存在则存在 N，当，当 n N 时，有时，有 | gn(xm) - g(xm) | ? 因此因此， | gn(x) - g(x) | 2? 从而从而 gn(x)? g(x)，(n?)。即。即 |mxxCg? ? ?*limnngwg?定理定理4(Banach)：设：设 X 是是 B*空间。若空间。若 X* 可分，可分，则则 X 可分。可分。 证明：条件：存在点列证明：条件：存在点列 fn 在在 X*中稠密。中稠密。 目标：寻找点列目标：寻找点列 xm 在在 X 中中稠密稠密。 ?目标：目标：span xm 在在 X 中稠密。中稠密。 考虑考虑 X0 = spanxm，若，若 X0 ? X，即，即 ? x0?XX0，则由则由Hahn-Banach定理定理(2.4.7)，? h?X*，使得，使得 | h |=1，h(x0)=?(x0，X0) h(x)=0， ?x?X0 定理定理4(Banach)：设：设 X 是是 B*空间。若空间。若 X* 可分，可分，则则 X 可分。可分。 证明：注意到点列证明：注意到点列 fn 在在 X*中稠密。我们应中稠密。我们应该从该从?(h，fn)着手推出矛盾。着手推出矛盾。 一方面，存在一方面，存在 fn 的子列的子列 ，使得，使得 因此不妨设因此不妨设 另一方面，不妨令另一方面，不妨令 limknnhf? ?|1/2knkfn?，| | 1| sup|( )( )|()()| |()|nnxnnnnnfhfxh xfxh xfx? ?knf|1nxn?，定理定理4(Banach)：设：设 X 是是 B*空间。若空间。若 X* 可分，可分，则则 X 可分。可分。 证明：于是，要得出矛盾，只需考虑证明：于是，要得出矛盾，只需考虑 fn 的子的子集集 A = fn：| fn |?1/2。 ? 若若 | fn |?1/2，则，则选取选取 xn?X，使得，使得| xn |=1并且并且 fn(xn) ? 1/3 。 ? 若若 | fn |1/2，则令，则令 xn = 0 若若 span xm 在在 X 中不稠密，则由以上分析可中不稠密，则由以上分析可得矛盾。得矛盾。 定理定理5(Pettis)：自反空间：自反空间 X 的闭子空间的闭子空间 X0 必是必是自反空间自反空间。 证明：设证明：设 z0?X0*，目标为，目标为z0?X0，即，即? x0?X0 (1) 条件：条件：设设 z?X*，? x?X (2) (1)和和(2)两式之间的联系在于将两式之间的联系在于将 f0 延拓到延拓到 X 上上即由即由(1)得到得到(2)。我们的目标是得到。我们的目标是得到(1)，因此，因此考虑将考虑将 f 限制在限制在 X0 上。上。 000000*zffxfX?， *zffxfX? ? ?， 定理定理5(Pettis)：自反空间：自反空间 X 的闭子空间的闭子空间 X0 必是必是自反空间自反空间。 证明：定义算子证明：定义算子 T：X*?X0*，Tf = f0，其中，其中f0 为为 f 在在X0 上的限制。上的限制。 显然显然 ，即，即 T?L(X*，X0*) 于是，目标于是，目标(1)变为变为 (3) 考虑考虑T的共轭算子的共轭算子T*?L(X0*，X*)即得即得 (4) 0| |ff? ?00*zTfTfxfX? ? ?， 00*TzfTfxfX? ? ?， 定理定理5(Pettis)：自反空间：自反空间 X 的闭子空间的闭子空间 X0 必是必是自反空间自反空间。 证明：由于证明：由于 X 是自反空间，存在是自反空间，存在 x?X，使得，使得 (5) 猜想猜想 x?X0，否则由，否则由Hahn-Banach定理，定理，?f?X*使得使得 f(X0)=0， 且且 0*TzffxfX? ? ?， 1fx ? ?，定理定理5(Pettis)：自反空间：自反空间 X 的闭子空间的闭子空间 X0 必是必是自反空间自反空间。 证明：证明：于是，于是， Tf = 0。这将导致矛盾。这将导致矛盾 因此，因此，x?X0 以上找到的以上找到的 x 符合符合(1)，这这是由于是由于 x?X0，可知，可知 因此在因此在(5)中用中用 f0 替代替代 f 仍然成立。仍然成立。 001*0fxTzfzTf?，0，fxfx? ?定理定理6：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的紧的。 ? 与与 Mazur 定理结合起来，由弱收敛点列获定理结合起来，由弱收敛点列获得强收敛点列得强收敛点列。 定理定理6：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的紧的。 证明：设证明：设xn为自反空间为自反空间 X 中的点列，中的点列，| xn |1 目标：存在目标：存在 xn 的子列仍记作的子列仍记作 xn以及以及 x?X， | x |1，使得，使得?f?X*，都有，都有 考虑子空间考虑子空间 X0 = span xn，由于由于 X 自反，可知自反，可知 X0 也自反也自反。另一方面，显然。另一方面，显然 X0 可分，于是可分，于是 X0* 也可分。设也可分。设 fn 在在 X0* 中稠密。中稠密。 ( )lim()nnf xf x? ?定理定理6：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的紧的。 证明：于是存在证明：于是存在 xn 的子列仍记作的子列仍记作 xn，使得，使得 f1(xn) 收敛，收敛， 在此子列中再取子列在此子列中再取子列仍记作仍记作 xn，使得，使得 f2(xn) 收敛收敛， 通过取对角线方法可得通过取对角线方法可得 xn的子列仍记作的子列仍记作 xn，使得对于任意使得对于任意 m， fm(xn) 收敛。收敛。 定理定理6：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的紧的。 证明：将证明：将 xn 看作看作X0*中的元素，可定义中的元素，可定义 x*如下：对任意如下：对任意 m， 于是可得于是可得 可知可知 x* 在在 fn有界，而有界，而 fn 在在 X0* 中中稠密，稠密，可将可将 x*连续延拓到连续延拓到 X0*上。上。 *lim()，mmnnxffx? ?|*| sup|，mnmnxfxf? ?定理定理6：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的紧的。 证明：于是，由于证明：于是，由于 X0 自反，存在自反，存在 x?X0 使得，使得， 再由定理再由定理1 可知可知 (1) 若若 f ?X*，设，设 f0?X0为为 f 在在 X0 上的限制，则上的限制，则 因此因此(1)中用中用 f 代替代替 f0仍然成立。仍然成立。 0000* *，xffxfX?00( )lim()nnfxfx? ?000( )( )()()，nnf xfxfxfx?定理定理6：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的紧的。 证明：证明： (1)也也可以直接计算得到。可以直接计算得到。 以下同定理以下同定理3的计算。的计算。 00000|( )()| |( )( )|( )()|()()|(| 1)|( )()| nmmmnmnnmmmnfxfxfxfxfxfxfxfxffxfxfx?定理定理6：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列：自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的紧的。 证明：对于证明：对于 | x |1，由，由Mazur定理立即可得。定理立即可得。 定理定理