2017 上半年中小学教师资格考试上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（高级中学）数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 注意事项： 1.考试时间为 120 分钟，满分 150 分。 2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1.若 limf(x)=k0，则下列表述正确的( ) A.kr, 0，a,ax0，且有, ax f(x)r B.kr, 0，aax,，且 xa，f(x)r C.aakr,x0, 0，有 f(x)r D.aaxkr, 0，有 f(x)r 3.母线平行于 x 轴是通过曲线的0162222222zyxzyx的柱面方程是( ) A.椭圆柱面162322 xx B.椭圆柱面16222 yx C.双曲柱面16322zy D.双曲柱面16222 zy 4.若 f(x)连续函数，则下列命题不正确的是( ) A.f(x)存在唯一的原函数dttfxa)( B.f(x)有无穷多个原函数 C.f(x)的原函数可以表示为rdtxfxa)(（r 为任意数） D.dttfxa)(是 f(x)的一个原函数 6.下列向量中为矩阵102030201A的特征向量是( ) A.T0 ,2, 1 B.T1 , 0 , 2 C.T1 , 0 , 1 D.T1 , 0 , 0 8.有一个角是直角的平行四边形是矩形，这个定义方式属于( ) A.公里定义 B.属加种差定义 C.递归定义 D.外延定义 9.已知椭圆方程632222zyx （1）求椭圆面上 M（1,1,1）的切点平面方程 （2）当 K 为何值时，所求的切面与平面 5X+KY-4Z=0 10.已知向量组)2 , 2 ,(),0 , 1 , 1 (),2, 1 , 2(321taaa线性相关 （1）求 t 的值 （2）求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示 12.普通高中数学课程标准（实验）用行为动词“了解” ， “理解” ， “掌握” ， “应用”等描述知识与技能目标，请届时“了解函数奇偶性”的具体含义。 17.单调性是函数的基本性质之一，针对高中函数的单调性中“增减”函数概念的教学完成以下任务 （1）给出“增减”函数在教学中的重点，难点。 （2）说明“增减”函数的定义。 （3）根据（2）中的定义设计教学方案 参考答案 单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1.【答案】A. 2.【答案】D. 3.【答案】C. 4.【答案】A. 5.【答案】B. 6.【答案】C. 7.【答案】A. 8.【答案】B. 二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 9.【答案】 （1）4（x-1）+2（y-1）+6（z-1）=0.（2）k=2 解析： （1）对椭球面方程分别求 x，y，z 的偏导数，令632),(222zyxzyxF， xzyxFx4),(，yzyxFy2),(，zzyxFz6),(，带入 M（1,1,1）点，得到该点处的法向量为（4,2,6） ，利用点法式方程，则切平面方程为 4（x-1）+2（y-1）+6（z-1）=0. （2）由（1）知，切平面方程为 4（x-1）+2（y-1）+6（z-1）=0，则切平面法向量为（4,2,6） ，平面 5x+ky-4z=0 法向量为（5，k，-4） ，由两平面垂直，得到0)4(6254k，解得 k=2. 10.【答案】 （1）t=1； （2）见解析 解 析 ： （ 1 ） 根 据 题 意 设 存 在 一 组 常 数321,kkk， 使 得0332211akakak，022020231321321kkkkktkkk，系数行列式002204422011212tt，即 t=1. （2）通过初等行变换032011001332111001312111021221011212,321aaa一个极大线性无关组21,，所以，1233. 11.【答案】 （1）320000361； （2）此人具有品尝区分能力. 解析： （1）由题意知，一次实验成功的概率为2013533CCP，用 X 表示进行 5 次试验时成功的次数，则 X 服从参数为)201, 5(的二项分布，则 X B)201, 5(. 所以3200003612011201)3(2335CXP，因此 3 次成功的概率为320000361. （2）此人具有品尝区分能力. 理由：由（1） 可知此随机试验成功的概率大概为千分之一，是小概率事件，基本可以排除偶然性，故此人具备区分两种品牌饮料的功能 12.【参考答案】了解即为再认或回忆认识，识别、辨认事实或证据，能够举出例子，并能够描述函数的奇偶性。 “了解函数的奇偶性”的含义：学生能够知道函数奇偶性的定义，奇函数定义域关于原点对称，函数图像关于原点对称，满足)()(xfxf；偶函数定义域 关于原点对称，函数图像关于 y 轴对称，满足)()(xfxf，能够通过解析式或图像判断函数的奇偶性，那些函数是奇函数，那些函数是偶函数，以及非奇非偶函数，并能够举出一些函数奇偶性的例子。 13.【参考答案】 （1）学生在学习数列这一章的时候应该掌握数列的概念，等差数列、等差数列的通项公式及前 n 项和，等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和。在设计题型的时候，考查的知识点应包括以上知识点，达到全面性，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。 （2）题型练习多样化，可以设置选择、填空、判断、解答多种形式：试题的难度要有梯度，照顾到不同学习层次的学生， 以便了解全体学生对本章知识掌握的程度， 指导今后的教学工作。 （3）题目设置在检测学生掌握本章知识的基础上，应有对重难点、易错点的考查，比如说“倒序相加法” “错位相减法” “裂项相消法” 。 三、解答题（本打题 1 小题，10 分） 14.【参考答案】解析： （1）证明：由)(xf在ba,上连续，则0，0，当0 x0 x时，)()(0 xfxf，其中bax,0. 下证)(xF连续. 由xdttfxF)()( 则)()()()()()(0000 xxMdttfdttfdttfxFxFxxxx 则)(xF在ba,上连续. （2）由可导定义知：),(bax )()(lim)()(lim)()(lim)(000 xfxxfxdttfdttfxxFxxFxFxxxaxaxx )()(lim)(lim)()(lim)(afxfaxdttfaxaFxFaFaxxaxax )()(lim)(lim)()(lim)(bfxfbxdttfbxbFxFbFbxxbxbx 故)(xF可导且)()(xfxF. 四、论述题（本大题 1 小题，15 分）阅读案例，并回答问题。 15.【参考答案】 （1）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据有的事实，经过观察，分析， 比较，联想，再进行归纳，类比，然后推出猜想的推理。 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 （2） 合情推理：例如，在研究球体时，我们自然地联想到圆。由于求与圆在形状上都有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有。圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类比：对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的 3 个点确定一个圆，类比：猜想空间中不共面的 4 个点确定一个球等等。 演绎推理：三角函数都是周期函数，是三角函数，因此是周期函数。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎的推理是由一般到特殊到推理， 从推理所得到的结论来看， 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明。演绎推理在大前提、小前提和推理形式都是正确的前提下，得到的结论一定正确。就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论。证明思路等的发现主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。 16. .案例分析 （1） 学生 1 在解答过程中只关注了 - 与 同反向时， 在两个向量模长相等时 -与 满足的关系， 但是忽略了 - 与 两个向量不共线的情况， 学生 2 在解答过程中虽然注意到向量模长的性质即 2=* ，但是在简化过程中把向量的数量积与实数的乘法产生了混淆，忽略了向量数量积的性质即 * = ， 其中 为两向量的夹角， 学生 3 在接到过程中忽略了向量数量积的性质，即 * = ，其中 为两向量的夹角。 （2） 向量的线性运算不仅涉及向量的长度 还涉及向量的方向， 因此提出以下问题引导学生思考 问题 1 ：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样子的运算法则呢？ 问题 2 ：三角形法则与平行四边形法则，两种方法在计算过程中应根据向量的何种特征进行合理的选择呢？ 问题 3： 现在我们将a与b分两种情况进行讨论： 两向量共起点时， 两向量首尾相连时，对两个向量进行减法的线性运算，现在大家动手来一起在纸上画一画 a与b满足何种位置关系时候， 能够使得bba， 我们又可以借助那些特殊的图形对两个向量的位置关系进行描述呢？ 问题 4：两种情况最终都可以等腰三角形这样的图形进行概括描述，如：在等腰三角形 ABC其 中AB=AC ， 另 aBC， bAC则BAACBCba又AB=AC则bba 那么接下来，大家继续借助等腰三角形 ABC，在其基础上画出 2b与a-2b，那么你可以发现什么结论呢？继续画出 2a与 2a-b，那么你又可以发现什么结论呢？ 结论：根据向量的线性运算法则以及在三角形内角与边长的性质：大边对大角，可以得出 bb2a2 ，a2与ba2的关系无法判断，则选 A. （3） 向量元素与实数运算的本质区别在于，向量运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向。 向量的线性运算与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、结合律、分配律但是向量线性运算结果为向量，实数的运算结果为实数. 向量的数量积与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律： 交换律、 分配律且运算结果均为实数。单实数的乘法满足消去律，向量的数量积则不满足。 在实数运算中若0a且 ab=0 则 b=0 但在向量运算中若 0a且0ba则有两种情况 0b或 ba. 17,教案设计略