第十四章第十四章虚位移原理目录目录01约束及其分类02虚位移及其计算03虚功与理想约束04虚位移原理05质点系的自由度与广义坐标06以广义坐标表示的质点系平衡条件第一节第一节约束及其分类几何约束与运动约束几何约束与运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。单摆上一质点M，可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆杆长l。此时摆杆对质点M的限制条件是：质点M必须在以点O为圆心，以l为半径的圆周上运动。若用x，y表示质点的坐标，则约束条件可写成在图14-2所示曲柄连杆机构中，连杆AB所受约束有：点A必须沿以点O为圆心，以r为半径的圆周运动；A，B间的长度为l；点B只能沿滑道做直线运动。则表示这三个限制条件的约束方程为 图14-1 图14-2一般地，若质点在一固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点的约束方程，即在上述例子中，限制物体位置的几何条件都是几何约束。其约束方程建立了质点间几何位置的相互联系。除几何约束外，还有限制质点系运动的运动学条件，称为运动约束。或图14-3定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束如果约束条件不随时间变化，这类约束称为定常约束。如图14-1和图14-2中的两种几何约束都是定常约束。当约束条件随时间变化时则称之为非定常约束。定常约束的约束方程，一般可表示为（14-1）非定常约束的约束方程可表示为（14-2）图14-4双面约束与单面约束双面约束与单面约束某些约束，只容许质点做一定的运动，但不容许质点从任何方向脱离约束，这样的约束称为双面约束。其约束方程为等式。例如，单摆中质点所受摆杆的约束和曲柄连杆机构中的滑块受到的约束都是双面约束。如果运动的质点可以从某一方向脱离约束作用，这样的约束称为单面约束。由于这种约束只能限制朝某一方向的位移，而容许相反方向的位移，则约束方程变为不等式。如图14-1中的摆杆用绳来代替，约束方程则为2+2=2完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束如果约束方程中包含坐标对时间的导数（如运动约束），而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束总是微分形式。反之，如果约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。如图14-3所示的车轮在直线轨道上滚动，其运动约束虽然是微分形式但可积分成有限形式所以仍是完整系统。完整系统的约束方程的一般形式为式（14-2）。其约束方程的一般形式为（14-3）式中，s为质点系的约束方程数目；n为质点的个数。第二节第二节虚位移及其计算 由于约束的限制，质点系内质点的运动不可能是完全自由的，即按约束的性质，约束容许质点系有某些位移，而不容许有其他的位移。在静止平衡问题中，质点系中各个质点都不动。设想在质点系的约束容许的情况下，给其一个任意的，极微小的位移。虚位移的定义：在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何微小的位移即为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。虚位移用变分符号 表示。必须指出，质点系任一质点的虚位移与实位移是两个不同的概念。实位移是质点系某一时间内真正实现的位移，具有确定的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间，主动力及运动的初始条件有关，而虚位移仅与约束条件有关。因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，在非定常约束条件下，实位移则不一定是虚位移中的一个。对无限小的实位移，我们用微分符号d表示，如dr，ds，几何法（几何法（虚速度法虚速度法）图14-5因此因以上求解过程借助于虚速度概念，故几何法又称为虚速度法。解析法解析法求坐标变分得到图14-6第三节第三节虚功与理想约束虚功与理想约束虚功与理想约束或（14-4）图14-7如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所做虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束，即理想约束应满足如下条件显然，虚功也是假设的，并且与虚位移是同阶无穷小量。第四节第四节虚位移原理虚位移原理：具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡状态的必要充分条件是，所有作用于质点系的主动力在任何虚位移中所做的虚功之和等于零。（14-6）必要性的证明必要性的证明必要性的证明即证明，如果质点系处于平衡，则式（14-6）必成立。图14-8对其他质点仍可写出这样一个等式，将所有等式相加，有由于质点系的约束都是理想约束，从式（14-5）可知于是有必要性条件得以证明充分性的证明充分性的证明充分性的证明即证明，如果式（14-6）成立，则质点系必平衡。反证法图14-9对于质点系，存在 由于理想约束的性质，有图14-9于是这个结果与我们所设的条件矛盾，即若式（14-6）成立，则质点系不可能由静止进入运动状态，必然保持平衡状态。则充分性得以证明。将式（14-6）写成解析形式（14-7）由于方程（14-6）和（14-7）中都不含有约束力，因此在理想约束的条件下，应用虚位移原理解决静力学问题时，只须考虑主动力，这样处理问题时非常方便。如果约束不是理想约束具有摩擦时，只要把摩擦力当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所做的虚功即可。例14-1 图14-10解（1）取系统为研究对象。用点的合成运动来分析A点的虚位移，如图14-10所示，应有摇杆上A，B两点的虚位移关系为（a）（4）列虚功方程（14-6），求解。由得（b）将式（a）代入式（b），得例14-2图14-11（1）取系统为研究对象。解连杆AB的瞬心C的位置如图14-11所示，A，B两点的速度分别为将式（a）代入式（b），得（a）（4）列虚功方程（14-6），求解。由得（b）例14-3图14-12解（1）取系统为研究对象。对两边变分（与微分类似），得则（4）列虚功方程（14-7），求解。将虚位移间的关系代入，最后例14-4 （a）（b）图14-13解（1）取系统为研究对象。（3）运动分析，求虚位移间的关系。用解析法求解，由图14-13（b）可知求变分（4）列虚功方程（14-7），求解。图14-14（a）（b）解（1）选系统为研究对象。（4）应用虚功方程（14-6）求解。最后求出应当指出：式（14-6）和（14-7）为虚位移原理的两种不同的表达式。若应用式（14-6）求解，则首先应给定虚位移；然后确定作用在质点系上的主动力在给定的虚位移上所做的虚功（方向相同取正号，方向相反取负号）；最后，用几何法求虚位移间的关系。若应用式（14-7）求解，应按如下步骤进行。首先，分别求出各主动力在坐标轴上的投影；其次，计算主动力在虚位移上所做的虚功，由于在此种情况下，主动力作用点的虚位移在坐标轴上的投影均按正方向计算，所以主动力在坐标轴上的投影为正，则虚功取正号，反之虚功取负号；然后用对各主动力作用点坐标的变分确定虚位移关系；最后代入式（14-7）求解。第五节第五节质点系的自由度与广义坐标确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，即三个坐标，也就是说自由质点在空间有三个自由度（平面上的自由质点则有两个自由度）。显然，一个由n个质点组成的自由质点系具有3n个自由度。实际上，工程中我们常处理的质点系由于受到约束的作用，其运动不可能是完全自由的（如图14-2的曲柄连杆机构），这样的质点系称为非自由质点系。又由于约束方程建立了坐标间的联系，所以确定非自由质点系位置的坐标并不都是独立的。图14-2建立了关系，其位置只要一个独立参数便能确定，所以这个质点系也具有一个自由度。因此，在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数目。图14-1 一般地，具有n个质点的质点系，如果作用有S个完整约束，则自由度的数目是（14-8）（14-9）（14-10）第六节第六节以广义坐标表示的质点系平衡条件式（14-7）表达的虚位移原理，是以质点的直角坐标的变分表示虚位移的。但这些虚位移之间不一定是相互独立的，所以在解题时，还要建立虚位移之间的关系，然后才能将问题解决。如果我们直接用广义坐标的变分来表示虚位移，则虚位移之间是相互独立的，这时虚位移原理可以表示为更简洁的形式。将式（14-10）的虚位移表达式代入虚功方程（14-7）中，得（14-11）如果令（14-12）则式（14-11）可简写成（14-13）由于广义坐标都是相互独立的，广义虚位移是任意的，为使式（14-13）成立，必须有（14-14）式（14-14）说明，质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零。这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。用广义坐标表示的质点系平衡条件是一个方程组，方程的数目等于系统广义坐标数目。因此，对于一个自由度的机构平衡问题，列出一个平衡方程就已足够了。对于具有两个或多个自由度的系统，就需要列出由两个或多个方程组成的方程组。可见，在利用广义坐标表示的平衡条件解决实际问题时，其关键在于如何求出广义力。因此求得广义力（14-15）例14-6 图14-15解（4）应用式（14-14）求解。应用式（14-12）求广义力（a）（b）将式（b）代入式（a），则应用式（14-14），应有 应用式（14-15）求解。（c）对坐标的变分（d）可得由式（14-14），应有则虚功可表示为（14-16）根据式（14-14），可以得到在具有理想约束条件下，有势力场中质点系的平衡条件为即势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。同学们下课同学们下课