第第 7章章 刚体的平面运体的平面运动本章内容本章内容本章内容本章内容 1 力在力在轴上的投影与力上的投影与力对点的矩点的矩 2 力偶矩力偶矩 平面力偶系的平面力偶系的简化化 3 平面力系的平面力系的简化化4 平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系的平衡条件与平衡方程式5 平面力系平衡方程式的平面力系平衡方程式的应用用举例例第一第一第一第一节节 刚刚体平面运体平面运体平面运体平面运动动的运的运的运的运动动方程方程方程方程刚体的平面运动是一种比平行移动和定轴转动更复杂的运动，如车轮沿直线轨道的滚动（见图7-1（a），曲柄连杆机构中连杆 的运动（见图7-1（b）等。（a）（b）图7-1刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变的运动称为刚体平面运动。设刚体做平面运动，是其固定参考平面，用与 平行的假想平面 去截刚体，得到刚体的一个平行于 的平面图形 ；过刚体内任意一点 作固定参考平面 的垂线 ，与平面图形 交于 点，如图7-2所示。图7-2平面图形 在自身平面内运动。这是因为刚体做平面运动，平面图形 与 平行，于是其上各点到固定参考平面 的距离始终保持相等，从而这个平面图形 只能在自身平面内运动。刚体上任何点的运动，都可以通过平面图形 （或其延展平面）上相应点的运动来代替（只要过该点向 作垂线，垂线与 的交点的运动就能代替垂线上所有点的运动）。既然刚体上所有点的运动都可以由平行于 的平面图形（或其延展平面）上相应点的运动来代替，而平面图形 又在自身平面内运动，那么刚体的平面运动可以简化为一个平行于固定参考平面的图形 在自身平面内的运动。设平面图形 在固定平面 内运动，在平面上建立静坐标系 ，如图7-3所示。平面图形 的位置可用其上任一段 的位置来确定，而线段 的位置则由 点的坐标 ，和 对于 轴的转角 来确定。平面图形 运动时，和 随时间 变化，它们都是 的单值连续函数，即（7-1a）（7-1b）（7-1c）图7-3平面图形上任一点 的运动方程，如图7-4所示。该方程为（7-2a）图7-4式中，和 是常量。式（7-2a）对时间求一次导数和二次导数可求得 点的速度和加速度在坐标轴上的投影：（7-2b）（7-2c）第二第二第二第二节节 刚刚体平面运体平面运体平面运体平面运动动分解分解分解分解为为平平平平动动和和和和转动转动从平面运动方程式（7-1）可看出，平面图形 的运动有两种特殊情况：（1）若 常数，即平面图形在运动过程中，线段 的方位保持不变。显然，这是平面图形在平面内做运动，平面图形上任一点的运动与 点的运动相同，而 点的运动由运动方程式（7-1a）和式（7-1b）二式给出。（2）若 和 同为常数，说明 点不动，平面图形将绕过 点且垂直于平面图形的固定轴转动，其转动规律由运动方程式（7-1c）给出。图7-5在一般情况下，刚体的平面运动可以看成是平动和转动这两种刚体的基本运动合成的结果。也就是说，平面运动可分解成平动和转动。例如，轮子在地面上滚动，如图7-5所示，轮子从位置 到位置 的平面运动可以看成是：轮子随轮心 平动到假想的中间位置 ；再由该中间位置绕 轴转动到位置 。当然轮子的平面运动并不是先平动而后转动，它的运动是一个连续过程，应当看成为同时进行着平动和转动。对于平面图形 对静坐标系 做平面运动的一般情况，可在平面图形上任选一点 ，并以 点为原点作坐标系 。平面图形 运动时，坐标系随之运动，并保持其原点与 上的 点重合，并且坐标轴 ，的方位不变。为明确起见，令 和 轴始终分别与 和 轴平行，如图7-6所示。因此，是一平动坐标系，点称为基点。这样，平面图形 的运动就可以分解成为：图7-6（1）跟随平动坐标系的平动，简称为随基点的平动；（2）相对平动坐标系绕基点的转动，简称为绕基点的转动。在平面图形上选 点为基点，线段 的转角为 ，如取另一点 为基点，线段 的转角 ，如图7-7所示。这两个转角只相差一个常数 ，即于是有图7-7即平面图形相对平动坐标系绕不同基点转动的角速度 和角加速度 都相同。由此可知，平面图形分解的转动部分与基点的选择无关。如图7-8所示，设平面图形 由 位置运动到 位置，经历了时间间隔 ，其上线段 运动到 。若选 点为基点，则 先随 点平动到 ，再绕 点转动到 ，转角为 ；若选 点为基点，则 先随 点平动到 ，再绕 点转动到 ，转角为 ，显然有 ，从而 ，并且转向相同。图7-8平面图形分解的平动部分与基点选择有关，转动部分与基点选择无关。第三第三第三第三节节 平面平面平面平面图图形上各点的速度形上各点的速度形上各点的速度形上各点的速度一、基点法（合成法）一、基点法（合成法）在平面图形上任取一点 为基点，作以 为原点的平动坐标系 ，坐标轴的单位矢量 和 都是常矢量，如图7-9所示。平面图形上任一点 相对基点 的矢径为 ，可以用 点的直角坐标 表示，即（7-4）相对转动速度的解析表达式为（7-5）根据定轴转动刚体上点的速度公式，相对转动速度的大小为（7-6）式中，是平面图形的角速度；的方向垂直 指向 转动的一方，如图7-10所示。图7-10设平面图形上任一点 对于静坐标系 的原点 的矢径为 ，基点 （平动坐标系 的原点）对原点 的矢径为 ，由图7-11可知，各矢径的关系有考虑到式（7-4），上式可写成（7-7）式（7-7）两边对时间 求一次导数，并注意到 和 为常矢量，有（7-8）图7-11式（7-8）左端表示 点对于坐标系的速度 ，右端第一项表示基点 的速度 ，根据式（7-5）可知右端后两项表示 绕 点的相对转动速度 ，因此有（7-9）式（7-9）表明，平面图形上任一点的速度等于基点速度与该点绕基点的相对转动速度的矢量和。图7-12给出了式（7-9）所表示的矢量合成图。这种求平面图形上任一点速度的方法称为基点法，也称合成法。图7-12二、速度投影法二、速度投影法图7-13若将式（7-9）所表示的各个矢量投影到 方向上，如图7-13所示，因 垂直 ，它在 方向上的投影等于零，因此得到（7-10a）或（7-10b）式中：和 分别表示 和 与 的夹角。平面图形上任意两点的速度在这两点的连线上的投影相等，这关系称为速度投影定理。这个定理反映了刚体不变形的性质。因为刚体内任意两点间的距离始终保持不变，刚体运动时，这两点的速度在其连线方向的投影若不相等，两点间的距离就要发生改变，这不符合刚体的条件，因此，速度投影定理对于任意形式运动的刚体都成立。利用速度投影定理去求平面图形上某点速度的方法称为速度投影法，简称投影法。例7-1在图7-14中的 杆，端沿墙面下滑，端沿着地面向右运动。在图示位置杆与地面的夹角为30，这时B点的速度 ，试求该瞬时端点A的速度 和杆中点D的速度 。图7-14（a）解杆做平面运动。（1）先用基点法求A点速度。取速度已知的B点为基点，根据速度基点法公式有式中，为A绕B点的相对转动速度，其方向垂直。三个速度的矢量关系如图7-14（a）所示，由图中的几何关系得到的指向是沿墙面向下。由图中各矢量的关系还可以求出A点绕B点的相对转动速度为用投影法求出A点速度，根据速度投影定理，将 和 投影到AB方向上（见图7-14（b），得到因此图7-14（b）（2）再求杆中点D的速度 。考虑到待求点D的速度方向是未知的，无法利用投影法。现仍用基点法求 。仍取B点为基点，有式中，相对转动速度 的方向垂直 ，但其大小未知。D点相对转动速度 和A点相对转动速度 的大小与BD和AD 的长度成正比。因此有如图7-14（c）所示。在前面已求得，所以图7-14（c）例7-2四连杆机构如图7-15所示。已知曲柄OA长为 ，以角速度 顺时针转动，连杆AB长为 ，摆杆BC长为 。当曲柄转到图示铅垂位置时，AB与OA的夹角为120，。试求该瞬时摆杆BC 的角速度 和连杆AB的角速度 。图7-15解机构中曲柄OA和摆杆BC做定轴转动、连杆AB做平面运动。基点法求解，取A点为基点，有基点A的速度大小为 ，的方向都已知，它们的矢量关系如图7-15所示，由图中几何关系算得进而求得BC杆和AB杆的角速度，即最后将 值代入得的转向为顺时针，的转向为逆时针。例7-3如图7-16所示为一个平面铰接机构。已知OA杆长为 ，角速度 ；CD杆长为r，角速度 ，它们的转向如图所示。在图示位置，OA杆与AB杆垂直，BC与AB的夹角为60，CD与AB平行。试求该瞬时B点的速度 。图7-16解机构中的OA杆和CD杆做定轴转动，AB杆和BC杆做平面运动。先分别算出A点和C点的速度，即它们的方向如图7-16所示。先用基点法求B点的速度。B是AB上的一个点，取A为基点，有（a）B也是BC上的一个点，取C为基点，有（b）比较式（a）与式（b），有（c）式中，和 已经求出；而 和 的方向分别垂直AB和BC。将式（c）中的各个矢量投影到与 垂直的BC轴上，使 的投影为零，这样得到从而解得与 相互垂直，由式（a）得到由图7-17看出，与AB的夹角 余弦为图7-17所以另解投影法求解假设B点速度 的方向与AB的夹角为 ，如图7-17所示。将A和B点速度在其连线AB方向投影得图7-17（d）再将B点和C点速度在其连线BC方向投影，得（e）将求出的 和 代入式（d）和式（e），得到比较两式，得到所以将 代入式（e），解得三、瞬三、瞬时速度中心法速度中心法如果已知平面图形上某点 的速度 和平面图形的角速度 ，可选 为基点，作垂直于 的直线 ，如图7-18所示。直线 上任一点绕 点的相对转动速度，其方向必与 一致或相反。因此，线上必有一点C，其相对转动速度 与 大小相等，方向相反，因此有图7-18即C点的瞬时速度等于零。C点的位置应满足下列关系式：因此如果平面图形的角速度不等于零，则在该瞬时平面图形上必有速度为零的点，该点称为平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。如果已知瞬心C的位置，可选瞬心为基点，则平面图形上任一点M的速度为其大小为（7-11）的方向垂直于转动半径MC，并指向平面图形绕C点转动的一方。平面图形上各点速度分布的情况如图7-19所示。这种分布规律与刚体绕定轴C转动的情况完全相同。已知平面图形的角速度和瞬心的位置，利用式（7-11）求平面图形上任一点的速度的方法称为瞬时速度中心法，简称瞬心法。图7-19确定瞬心位置的方法。根据平面图形上各点速度应垂直于该点和瞬心的连线，可经过A，B点分别作 ，的垂线，其交点就是平面图形的瞬心，如图7-20所示。图7-20如已知其中一点速度的大小，如 ，还可求出该瞬时平面图形的角速度的转向应与 的方向相对应。（1）若已知某瞬时平面图形上A，B两点速度 ，的方向，且 与 不平行。（2）若已知某瞬时平面图形上A，B两点速度 ，的大小，它们的方向都垂直于AB连线。在平面图形上按比例画出速度矢量 和 ，则瞬心C在通过AB的直线和通过矢量 ，端点的直线的交点上，如图7-21所示。其中图7-21（a）表示 与 同向的情况，图7-21（b）表示 与 反向的情况。（a）（b）图7-21平面图形的角速度可按下式计算：对于图7-21（a）所示的情况，有对于图7-21（b）所示的情况，有的转向根据 的指向和瞬心C的位置确定。在特殊情况下，和 的大小相等，方向相同，而此时速度的垂线将不相交，如图7-22所示。这样，平面图形的瞬心将落到无穷远处，该瞬时平面图形的角速度将等于零，即图7-22在该瞬时平面图形上各点的加速度并不相同，这与刚体平动时的情况不太一样。（3）当平面图形在某固定曲线（或直线）上做无滑动的滚动时，平面图形上与固定曲线所接触的点就是平面图形该瞬时的瞬心。例如，车轮沿固定轨道滚动而不滑动（图7-23），车轮上与轨道接触的点C和轨道上的点 有相同的速度，而轨道是固定的，点的速度因而车轮上C点的速度必为零，所以C是车轮的瞬心。随着车轮的滚动，轮缘上不同点与固定轨道接触。因此瞬心不断沿轮缘迁移，即车轮上瞬心的位置时时在改变。图7-23例7-4行星齿轮机构如图7-24所示。已知固定齿轮的半径为 ，行星齿轮的半径为 ，曲柄OA的角速度为 。试求齿轮轮缘上