第四章第四章 混合类型信号中混合类型信号中傅里叶描述的应用傅里叶描述的应用1目录目录 4.1 引言引言 4.2-4.4 建立建立4种信号种信号FT表示，为各类表示，为各类信号的综合及运算提信号的综合及运算提供前提供前提4.2 周期信号的周期信号的傅里叶变换傅里叶变换4.3 周期与非周期信号的卷积和周期与非周期信号的卷积和相乘相乘4.4 离散时间信号的傅里叶描述离散时间信号的傅里叶描述 4.5-4.6 信号分析的基本原理：抽样及重构信号分析的基本原理：抽样及重构4.5 抽样抽样4.6 由样本重构连续时间信号由样本重构连续时间信号 4.7-4.10 实际应用实际应用4.7 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理4.8 有限持续时间非周期信号的傅里叶级数表示有限持续时间非周期信号的傅里叶级数表示4.9 用离散时间傅里叶级数近似傅里叶变换用离散时间傅里叶级数近似傅里叶变换4.10求求DTFS的有效算法的有效算法 4.11-4.12 Matlab探究，小结探究，小结24.1 引言引言本章讨论不同信号傅里叶描述之间的联系与应用问题。本章讨论不同信号傅里叶描述之间的联系与应用问题。实际问题：实际问题：1.处理混合类型信号处理混合类型信号的的综合及运算，需要立综合及运算，需要立四种四种信号统一的信号统一的FT表示。表示。2.用用DTFS表示表示FT、FS、DTFT，是用计算机进行信号处理是用计算机进行信号处理的前提的前提。以以应用为目的，介绍信号的卷积、乘积、抽样、应用为目的，介绍信号的卷积、乘积、抽样、重构及重构及FFT等问题。等问题。4.2 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 严格而言，周期信号可以用傅里叶级数展开，但不符严格而言，周期信号可以用傅里叶级数展开，但不符合傅里叶变换条件，引进冲激函数可以建立傅里叶级数与合傅里叶变换条件，引进冲激函数可以建立傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系。傅里叶变换之间的关系。4.2.1 FT与与FS的关系的关系见pp193，例3.27、3.28利用复正弦信号的线性组合，及利用复正弦信号的线性组合，及FT的线性特性，可得：的线性特性，可得：FS周期周期信号信号4.2.1 FT与与FS的关系的关系FS时域连续周期信号时域连续周期信号注意：注意：Xk 是离散的，而是离散的，而X（j）是连续的！）是连续的！FT例：图例：图4.1，例，例4.1、4.2连续周期信号的连续周期信号的FT对应的频域信号：对应的频域信号：看做一个看做一个频移量为频移量为 的冲激序列的加权叠加的冲激序列的加权叠加，各冲激，各冲激信号的强度为信号的强度为 ，间隔为基频，间隔为基频 ；FT与与FS的转换的转换：的的形状相同形状相同，FT中各冲激中各冲激强度强度 除以除以 即得即得FS系数系数 。4.2.2 DTFT与与DTFS的关系的关系时域时域周期周期信号：信号：DTFSDTFT周期函数！4.2.2 DTFT与与DTFS的关系的关系离散离散时域周期信号时域周期信号DTFSDTFT离散周期信号的离散周期信号的DTFT对应的频域信号：对应的频域信号：看做一个看做一个频移量为频移量为 的冲激序列的加权叠加的冲激序列的加权叠加，各冲激，各冲激信号的强度为信号的强度为 ，间隔为基频，间隔为基频 ；DTFT与与DTFS的转换的转换：的的形状相同形状相同，FT中中各冲激强度各冲激强度 除以除以 即得即得DTFS系数系数 。例：图例：图4.6，例，例4.3复习复习：周期：周期信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换8 时域信号：可分解为多个复指数信号的线性组合时域信号：可分解为多个复指数信号的线性组合非周期非周期时间时间傅里叶变换傅里叶变换FT傅里叶变换傅里叶变换FT连连续续频频谱谱周期周期时间时间傅里叶级数傅里叶级数FS离散离散频谱频谱4.3 周期与非周期混合信号的卷积及相乘周期与非周期混合信号的卷积及相乘解决周期与非周期混合信号（运算）问题：解决周期与非周期混合信号（运算）问题：连续时域信连续时域信号统一利用号统一利用FT分析；离散时域信号统一利用分析；离散时域信号统一利用DTFT分析。分析。4.3.1.周期与非周期信号的卷积周期与非周期信号的卷积1、连续时域信号、连续时域信号例例4.4利用冲激响应利用冲激响应h(t)H(j)实现频谱滤波。实现频谱滤波。周期周期非周期非周期2、离散时域信号：、离散时域信号：xn，yn是基频为是基频为0的周期信号，的周期信号，hn是非周期信号。是非周期信号。4.3.2周期与非周期信号的相乘周期与非周期信号的相乘1、连续、连续时间时间信号信号 x(t)是基频为是基频为0的的周期周期信号信号 g(t)是是非周期非周期信号信号G(j)多个频移模式的加权和；多个频移模式的加权和；各频移模式的频移量各频移模式的频移量k0，权重，权重Xk.例：频分复用（例：频分复用（FDM）：）：互互逆逆12复用复用解复用解复用输入入调制调制共享共享传输信道传输信道输出输出解调解调信道信道：一个发射端与一个接收端之间的连接通道。：一个发射端与一个接收端之间的连接通道。复用复用：一个物理通道上，可同时传输多个信息。：一个物理通道上，可同时传输多个信息。优点优点：各信息的传输独占不同：各信息的传输独占不同频道频道，共享时间。，共享时间。（Frequency Division Multiplexing）A.A.调制与解调调制与解调13单信号单信号多多信号信号调制调制14时时 频频A.单信号单信号B.多多信号信号解调制解调制15时时 频频A.单信号单信号B.多多信号信号扩展16B.B.频谱混叠频谱混叠17周期信号的周期信号的基频基频 vs.非周期非周期信号信号 的的频谱宽度频谱宽度2、离散时域信号、离散时域信号xn是基频为是基频为0的周期信号，的周期信号，zn是非周期信号。是非周期信号。DTFT对应频谱：是由对应频谱：是由 的频移模式的加权和构成的频移模式的加权和构成;各频移模式的频移量为各频移模式的频移量为k0，权重为，权重为Xk。非周期信号非周期信号4.2、4.3 作业作业习题习题4.2（a）（）（P269）,习题习题4.3（b）（）（P271）习题习题4.4（a）（）（b）（）（P273）,习题习题4.5（a）（）（P274）习题习题4.6（P277）,习题习题4.7（P279）P227，例，例4.7：数据加窗效应：数据加窗效应频谱混叠频谱混叠 时域周期信号：频移的冲激序列（频率间隔）时域周期信号：频移的冲激序列（频率间隔）窗函数：决定数据记录长度（频谱宽度）窗函数：决定数据记录长度（频谱宽度）4.4 离散时间信号的傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换1、连续时间频率与离散时间频率之间的关系：、连续时间频率与离散时间频率之间的关系：离散时间频率相当于连续时间频率乘以抽样时间间隔。离散时间频率相当于连续时间频率乘以抽样时间间隔。FT用于分析连续与离散时间混合信号问题的实现。用于分析连续与离散时间混合信号问题的实现。4.4.1 FT与与DTFT的关系的关系(P341)任意离散任意离散时间信号时间信号xnDTFTFT例：图例：图4.18，例，例4.8利用冲激变换实现利用冲激变换实现 离散时间信号的连续时间描述离散时间信号的连续时间描述4.4.2 FT与与DTFS的关系的关系(P344)实现离散时间周期信号的实现离散时间周期信号的FT表示表示离散时间周期信号离散时间周期信号DTFSDTFT离散时间周期信号离散时间周期信号xn：尺度变换特性尺度变换特性FT4.4 作业作业习题习题4.8（P281）4.5 抽样抽样 抽样抽样是按一定规律（一般是按等时间间隔）地在某些离是按一定规律（一般是按等时间间隔）地在某些离散时间点上提取原始时间信号值的散时间点上提取原始时间信号值的操作。操作。目的是达到目的是达到一定的信号传输和处理一定的信号传输和处理要求，这是进行要求，这是进行数字数字信号处理必须的步骤。信号处理必须的步骤。1.1.连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样2.2.离散时间信号的二次抽样离散时间信号的二次抽样抽样过程既抽样过程既可以用可以用FT进行分析，也可以通过进行分析，也可以通过DTFS实现实现计算机的处理计算机的处理.24提纲提纲1.1.引：抽样引：抽样2.2.连续连续时间信号的抽样时间信号的抽样3.3.原始连续时间信号与样本信号的对应原始连续时间信号与样本信号的对应4.4.抽样定理抽样定理5.5.小结小结251.1.引引 两段音乐各有什么特点？两段音乐各有什么特点？为什么会有这样的为什么会有这样的结果结果？26音乐片段音乐片段1：44khz音乐片段音乐片段2：16khz连续时间信号连续时间信号离散时间信号离散时间信号抽样抽样抽样周期抽样周期例：阻尼振荡的数学表示例：阻尼振荡的数学表示抽样抽样按按一定规律（一般一定规律（一般是等是等时间间隔时间间隔）在）在某些离散时间点上提某些离散时间点上提取原始时间信号值的取原始时间信号值的操作。操作。离散时间信号的连续时间表示：离散时间信号的连续时间表示：冲激抽样冲激抽样：原始原始连续信号与冲激连续信号与冲激序列的乘积序列的乘积.抽样：抽样：2.2.连续时间信号的连续时间信号的抽样（抽样（4.5.1）A.时域时域:冲激采样冲激采样P 269，例，例4.2:抽样抽样函数函数B.B.频域：频域：30原始连续时间信号的频谱，对应的原始连续时间信号的频谱，对应的多个频移模式多个频移模式的加权叠加。的加权叠加。C.小结：连续时间信号的抽样小结：连续时间信号的抽样 频域：频域：时域：时域：由原始信号决定由原始信号决定由抽样条件决定由抽样条件决定时域的冲激时域的冲激抽样：抽样：原始连续时间信号与时移冲激序列原始连续时间信号与时移冲激序列的的乘积，调幅。乘积，调幅。频域：卷积，频域：卷积，原始原始连续时间信号的连续时间信号的FT频谱频谱 以以 为为周期周期进行进行频谱延拓频谱延拓，再加权叠加。，再加权叠加。3.3.原始连续时间信号与样本信号的对应原始连续时间信号与样本信号的对应例：图例：图4.22频谱混叠：频谱混叠：原始频谱的频移混叠，高频分量与低频分量混杂。原始频谱的频移混叠，高频分量与低频分量混杂。A.频谱的频谱的一一对应一一对应331、必须必须是带限的，最高频率分量为是带限的，最高频率分量为 ；2、抽样频率：、抽样频率：，即抽样周期，即抽样周期 。原始连续时间原始连续时间信号信号样本样本信号信号同一个连续时间信号同一个连续时间信号x(t)，当抽样间隔，当抽样间隔Ts不同时会得到不同不同时会得到不同的抽样离散时间信号。的抽样离散时间信号。一一个抽样信号个抽样信号xn，可对应，可对应多个不同的原始连续时间信号多个不同的原始连续时间信号。B.B.时域时域的唯一性的唯一性对于原始连续信号和抽样信号，为了满足对于原始连续信号和抽样信号，为了满足二者从频域到时二者从频域到时域变换的一一对应关系域变换的一一对应关系，抽样时需满足：，抽样时需满足：如果如果 X(j)与与 x(t)是是一对傅里叶变换对一对傅里叶变换对，X(j)存在存在最大频率限制，即最大频率限制，即|m 时时 X(j)=0；当当抽样频率满足抽样频率满足s2m 时时，原来原来的信号的信号x(t)由样本由样本x(nTs)，n=1，2，惟一确定惟一确定.4.4.抽样定理（抽样定理（NYQUIST 定理）定理）抽样抽样时间的确定时间的确定 思考题思考题1：某女高音的发音频段为：某女高音的发音频段为6-8kHz，若要不失真的录，若要不失真的录制女高音，在采样频率至少为多少？制女高音，在采样频率至少为多少？思考题思考题2：人耳的听力频谱范围大致是：人耳的听力频谱范围大致是20Hz-20kHz，如果要，如果要对通常的音乐进行采样，最大的抽样周期应为多少？对通常的音乐进行采样，最大的抽样周期应为多少？36抗抗混叠混叠滤波滤波 思考题思考题2：如何获得一个带限的原始连续时间信号？：如何获得一个带限的原始连续时间信号？抽样前对抽样前对信号进行信号进行预处理预处理，使用使用连