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21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的一般形式是什么?一元二次方程的一般形式是什么?3.一元二次方程的根的情况怎样确定?一元二次方程的根的情况怎样确定?2.一元二次方程的求根公式是什么?一元二次方程的求根公式是什么?知知知知识识识识回回回回顾顾顾顾21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程一元二次方程两两 根根x1x2x2+3x-4=0 x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1-3-456将二次将二次项系数项系数化为化为 1想一想 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a,b,c 有什么关系?算一算 解下列方程并完成填空:x1+x2=?x1x2=?21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系 (1)一元二次方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2 为已知数)的两根是什么?若将此方程化为 x2+px+q=0 的形式,你能看出 x1,x2 与 p,q 之间的关系吗?猜一猜 重要发现方程 x2+px+q=0 的两根 x1,x2 满足上面两个关系式(x-x1)(x-x2)=0 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 x2+px+q=0 x1+x2=-p,x1x2=q新新新新课讲课讲课讲课讲解解解解21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系猜一猜(2)通过前面的表格猜想,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两根分别是 x1,x2,那么,你可以发现什么结论?21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系证一证:注:注:b2-4ac0 21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a 0)的两个根为 x1,x2,那么注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.知知知知识识识识归纳归纳归纳归纳21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系例1 利用一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2 6x 15=0;解:a=1,b=6,c=15.=b2 -4ac=(6)2 4 1(15)=96 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=(6)=6,x1 x2=-15.例例例例题讲题讲题讲题讲解解解解21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系(2)3x2 +7x-9=0;x1+x2=,x1 x2=解:a=3,b=7,c=-9.=b2 4ac=72 43(9)=157 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系(3)5x 1=4x2.解:方程可化为 4x2 5x+1=0.a=4,b=5,c=1.=b2 4ac=(5)2 4 4 1=9 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=.在求两根之和、两根之积时,先把方程化为一般式,判断是否 0,如是则代入 a、b、c 的值即可.归纳21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系例2 已知关于 x 的方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.解:设方程的两根分别是 x1,x2,其中 x1=2.所以 x1x2=2x2=,即 x2=由于 x1+x2=2+=,解得 k=-7.答:方程的另一个根是 ,k 的值为-7.21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系变式:已知关于 x 的方程 3x2-18x+m=0 的一个根是 1,求它的另一个根及 m 的值.解:设方程的两根分别是 x1,x2,其中 x1=1.所以 x1+x2=1+x2=6,即 x2=5.由于 x1x2=15=,解得 m=15.答:方程的另一个根是 5,m 的值为 15.21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系例3 不解方程,求方程 2x2+3x-1=0 的两根的平方和、倒数和.解:根据根与系数的关系可知 21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系设 x1,x2 为方程 x2-4x+1=0 的两个根,则(1)x1+x2=;(2)x1x2=;(3);(4).411412 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳练一练21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系u常见的求值式子如下:21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系例4 设 x1,x2 是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根,且 x12+x22=4,求 k 的值.解:由方程有两个实数根,得 =4(k-1)2-4k20,即-8k+40.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2 =2k2-8k+4=4.解得 k1=0,k2=4.,k=0.21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根,则另 一个根是_,m=_.-32x1x22.设 x1、x2是方程x24x+1=0的两个根,则(1)x1+x2=_,x1x2=_,(2)x12+x22=(x1+x2)2-_=_,(3)(x1-x2)2=(_)2-4x1x2=_.411412x1+x2随堂随堂随堂随堂练习练习练习练习21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系3.利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.解:(1)这里 a=1,b=7,c=6.=b2 -4ac=72 4 1 6=25 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1 x2=6.21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系(2)2x2-3x-2=0.(2)这里 a=2,b=-3,c=-2.=b2 -4ac=(-3)2 4 2 (-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1.21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4;(1)求k的值;(2)求(x1-x2)2的值.解:(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得:k=-7;(2)因为k=-7,所以 则:21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系内 容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0)的两个根分别是 x1,x2,那么应 用课课课课堂小堂小堂小堂小结结结结21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
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