2021年广东省湛江市廉江营仔第二中学高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=ax2+c,且=2,则a的值为( )
A.1 B. C.-1 D. 0
参考答案:
A
略
2. 抛物线y=x2的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】该抛物线的方程是x2=2py(p>0)的形式,由此不难得到2p=1, =,所以抛物线的焦点坐标为:(0,).
【解答】解:∵抛物线y=x2的标准形式是x2=y,
∴抛物线焦点在y轴上,开口向上,可得2p=1, =
因此,抛物线的焦点坐标为:(0,)
故选D
3. 已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
参考答案:
B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;
B.运用线面垂直的性质,即可判断;
C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;
D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.
【解答】解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;
B.若m⊥α,n?α,则m⊥n,故B正确;
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n?α,故C错;
D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n?α或n⊥α,故D错.
故选B.
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型.
4. 已知直线的点斜式方程是,那么此直线的倾斜角为
参考答案:
C
,,故选.
5. 若有一个线性回归方程为,则变量x增加一个单位时( )
A. y平均减少2.5个单位 B. y平均减少0.5个单位
C. y平均增加2.5个单位 D. y平均增加0.5个单位
参考答案:
A
6. 函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是( )
A.(﹣,1) B.(﹣∞,﹣) C.(0,) D.(1,+∞)
参考答案:
A
【考点】33:函数的定义域及其求法.
【分析】函数f(x)=+lg(3x+1)有意义,只需3x+1>0,且1﹣x>0,解不等式组,即可得到所求定义域.
【解答】解:函数f(x)=+lg(3x+1)有意义,
只需3x+1>0,且1﹣x>0,
即有x>﹣且x<1,
可得﹣<x<1,
即定义域为(﹣,1).
故选:A.
【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意运用对数的真数大于0,分式的分母不为0和根式的被开方数非负,考查运算能力,属于基础题.
7. 用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为 ( )
A. 1 B. 1+ C. D.
参考答案:
C
8. 观察下列各式:则,…,则的末两位数字为( )
A.01 B.43 C.07 D.49
参考答案:
B
略
9. 已知,且,则的值为
(A) (B)或 (C) (D)或
参考答案:
【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质
【答案解析】C解析:解:因为0<<1,而,得,所以,则选C
【思路点拨】熟悉的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键.
10. 将的图象绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与y轴相切,则角满足的条件是( )
A.esin= cos B.sin= ecos C.esin=l D.ecos=1
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,正方体,则下列四个命题: ①在直线上运动时,三棱锥的体积不变;②在直线上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③在直线上运动时,二面角的大小不变;④M是平面上到点D和距离相等的点,则M点的轨迹是过点的直线.
其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号).
参考答案:
①③④
12. 已知点A(-4,4),点B(6,6),则线段AB的垂直平分线的方程为 。
参考答案:
5x+y-10=0
13. 若复数z=(3-i)(1-2i),则z的共轭复数的虚部为_____
参考答案:
7
【分析】
利用复数乘法运算化简为的形式,由此求得共轭复数,进而求得共轭复数的虚部.
【详解】,,故虚部为.
【点睛】本小题主要考查复数乘法运算,考查共轭复数的概念,考查复数虚部的知识.
14. 已知在时有极值,则__________.
参考答案:
由题知,
且,
所以,
得或,
①当时,,此时,
,
所以函数单调递增无极值,
舍去.
②当时,,此时,
是函数的极值点,符合题意,
∴.
15. 已知向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2),则与的夹角的大小为 .
参考答案:
【考点】空间向量的数量积运算.
【分析】利用空间向量的数量积,即可求出两向量的夹角大小.
【解答】解:∵向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2),
∴?=0×(﹣1)+2×1+1×(﹣2)=0,
∴⊥,
∴与的夹角为.
故答案为:.
16.
参考答案:
略
17. 若存在两个正实数,使得不等式成立,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知复数().
(1)若复数z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)(2)(2,3)
【分析】
(1)由纯虚数的概念列方程组求解即可;
(2)由复数的几何意义得,解不等式即可得解.
【详解】(1)因为复数为纯虚数,所以,
解之得,.
(2)因为复数在复平面内对应的点在第二象限,所以,
解之得,得.
所以实数的取值范围为(2,3).
【点睛】本题主要考查了复数的概念及复数的几何意义,属于基础题.
19. 已知椭圆的两个焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设点是椭圆上任一点,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)设椭圆的方程为
由椭圆定义,
∴ .
故所求的椭圆方程为.
(2)设
∴
∵点在椭圆上,∴
∴
∵
∴有最小值;,有最大值
∴,∴的范围是
略
20. 已知函数f (x),当x、y∈R时,恒有f (x) - f (y) = f (x-y).
(Ⅰ)求证:f (x)是奇函数;
(Ⅱ)如果x<0时,f (x)>0,并且f (2) =-1,试求f (x)在区间[–2,6]上的最值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意x∈[-2,6],不等式f(x)>m2+am-5对任意a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:∵当x、y∈R时,恒有f (x) - f (y) = f (x-y)
∴ f (0) - f (0) = f (0-0)
即f (0)=0 ………………………………………2分
∴f (0) - f (x) = f (0-x)
即- f (x) = f (-x)
所以f (x)是奇函数; …………………………………5分
(Ⅱ)设
则……………………………………7分
∵ ∴
∴ 即
故,函数f(x)在R上单调递减 …………………………………………8分
所以,函数f(x)在[-2,6]上单调递减
故,
……………………10分
(Ⅲ)∵ 对任意x∈[-2,6],不等式f(x)>m2+am-5恒成立
∴ m2+am-5<………………………………………12分
即m2+am-2<0
∵ 对任意a∈[-1,1],不等式m2+am-2<0恒成立
∴
解得,实数m的取值范围-1<m<1.………………………………14分
21. (本题满分12分) 在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性480人,其中有38人患色盲,调查的520个女性中6人患色盲,
(1)根据以上的数据建立一个2×2的列联表;
(2)能否有99.9%的把握认为“性别与患色盲有关系”?
参考答案:
(1)
患色盲
不患色盲
总计
男
38
442
480
女
6
514
520
总计
44
956
1000
(2)假设H :“性别与患色盲没有关系”
先算出K 的观测值:
则有
即是H 成立的概率不超过0.001,
即“性别与患色盲有关系”,则出错的概率为0.001
22. (本小题满分12分)由下列各个不等式:
你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
参考答案:
根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式,即一般不等式为:
4分
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1 时,猜想成立. 5分
(2)假设当时猜想成立,即6分
则当时,
10分
这就说明猜想也成立,由(1)(2)知,猜想对一切都成立.------12分