2021-2022学年湖北省宜昌市枝江实验中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的最大值为（    ）   A．            B．          C．            D． 参考答案： D 2. 已知直线，平面，且，下列命题中正确命题的个数是 ①若，则    ②若，则 ③若，则;    ④若，则 A．1            B．2             C．3            D．4 参考答案： B 3. 已知，下列各式成立的是（   ） A.       B.       C.      D. 参考答案： C 4. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 (A)    (B)   (C)   (D) 参考答案： B 5. “”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的  （   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件  参考答案： C 6. 设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（　　） A．0 B． C． D．1 参考答案： B 【考点】反证法的应用． 【分析】根据题意，通过反证法，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论． 【解答】解：假设a、b、c都大于，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾． 假设a、b、c都小于，则a+b+c＜1，这与已知a+b+c=1矛盾． 故a、b、c中至少有一个数不小于． 故选：B． 7. 现有5种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是（     ）种 A   120   B   140    C   240    D   260 参考答案： D 略 8. 对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0） 参考答案： B 【考点】函数恒成立问题． 【分析】当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围． 【解答】解：当m=0时，mx2﹣mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立； 设y=mx2﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0 得到：解得﹣4＜m＜0． 综上得到﹣4＜m≤0． 故选B． 9. 已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　) A．2                                B．3 C．4                                D．5 参考答案： B 10. 设函数，则下列说法正确的是 A. f(x)定义域是（0，+∞） B. x∈（0，1）时，f(x)图象位于x轴下方 C. f(x)存在单调递增区间 D. f(x)有且仅有两个极值点 E. f(x)在区间（1，2）上有最大值 参考答案： BC 【分析】 利用函数的解析式有意义求得函数的定义域，再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值，逐项判定，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确； 由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确； 所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的； 由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确； 由，则，所以，函数单调增， 且，，所以函数在先减后增，没有最大值，所以E不正确， 故选BC． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，其中解答中准确求解函数的导数，熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y） 的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为          ； 在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为          。 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。 参考答案： 4  , 12. z1＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数．则实数m的值        。 参考答案： 0 13. 若双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合， 则该双曲线的渐近线方程为            . 参考答案： 略 14. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，.的第15项是  ▲   ． 参考答案： 5 略 15. 函数 的单调递增区间是             参考答案： 16. 已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=            ． 参考答案： 2 【考点】二阶矩阵． 【专题】矩阵和变换． 【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可． 【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式  ， 解得 x=4，y=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题． 17. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是    ▲    。 参考答案： 30 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于x的方程存在实数解，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可； （2）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式等价于或或 解得，故原不等式的解集为. （2）因为， 当且仅当，即时，取等号， 所以，所以的值域为， 由题意可得，解得或， 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题及方程的有解问题的转化，考查分类讨论思想，是一道中档题． 19. （本小题12分）设p:实数x满足,其中,命题实数满足. (1)若且为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 参考答案： 解：由得， 又,所以,                       ……………2分 当时，1<,即为真时实数的取值范围是1<.    由,得,即为真时实数的取值范围是.……4分 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是. ……………6分  (Ⅱ) 是的充分不必要条件，即,且,  …………8分 设A=,B=,则, 又A==, B==}，……………10分 则0<,且所以实数的取值范围是.……………12分 略 20. (本小题满分12分)△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°，求AC的长及△ABC的面积。                                                                  参考答案： 解：在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°， ∴。……………………3分 在△ACD中，…………6分 ………………………………………………………………8分 ……………………………………12分   略 21. （本小题满分13分）某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，求这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？ 参考答案： 设稳健型组合投资与进取型组合投资分别注入x，y份， 则，目标函数z＝10x＋15y， 作出可行域，得最优解为x＝4，y＝2，∴＝70万元. 22. （本小题满分12分） 设a＞0，b＞0，c＞0，求证：。 参考答案： （本小题12分） 证明：∵ a＞0，b＞0，c＞0 略