2021-2022学年湖北省宜昌市枝江实验中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 已知直线,平面,且,下列命题中正确命题的个数是
①若,则 ②若,则
③若,则; ④若,则
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
3. 已知,下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
5. “”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
6. 设实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于( )
A.0 B. C. D.1
参考答案:
B
【考点】反证法的应用.
【分析】根据题意,通过反证法,通过得出与已知a+b+c=1矛盾,可得结论.
【解答】解:假设a、b、c都大于,则a+b+c>1,这与已知a+b+c=1矛盾.
假设a、b、c都小于,则a+b+c<1,这与已知a+b+c=1矛盾.
故a、b、c中至少有一个数不小于.
故选:B.
7. 现有5种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是( )种
A 120 B 140 C 240 D 260
参考答案:
D
略
8. 对任意的实数x,不等式mx2﹣mx﹣1<0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣4,0) B.(﹣4,0] C.[﹣4,0] D.[﹣4,0)
参考答案:
B
【考点】函数恒成立问题.
【分析】当m=0时,不等式显然成立;当m≠0时,根据二次函数图象的性质得到m的取值范围.两者取并集即可得到m的取值范围.
【解答】解:当m=0时,mx2﹣mx﹣1=﹣1<0,不等式成立;
设y=mx2﹣mx﹣1,当m≠0时函数y为二次函数,y要恒小于0,抛物线开口向下且与x轴没有交点,即要m<0且△<0
得到:解得﹣4<m<0.
综上得到﹣4<m≤0.
故选B.
9. 已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
参考答案:
B
10. 设函数,则下列说法正确的是
A. f(x)定义域是(0,+∞)
B. x∈(0,1)时,f(x)图象位于x轴下方
C. f(x)存在单调递增区间
D. f(x)有且仅有两个极值点
E. f(x)在区间(1,2)上有最大值
参考答案:
BC
【分析】
利用函数的解析式有意义求得函数的定义域,再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值,逐项判定,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,函数满足,解得且,所以函数的定义域为,所以A不正确;
由,当时,,∴,所以在上的图象都在轴的下方,所以B正确;
所以在定义域上有解,所以函数存在单调递增区间,所以C是正确的;
由,则,所以,函数单调增,则函数只有一个根,使得,当时,,函数单调递减,当时,函数单调递增,所以函数只有一个极小值,所以D不正确;
由,则,所以,函数单调增,
且,,所以函数在先减后增,没有最大值,所以E不正确,
故选BC.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题,其中解答中准确求解函数的导数,熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p(x,y)
的纵坐标与横坐标的函数关系是,则的最小正周期为 ;
在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。
说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。
参考答案:
4 ,
12. z1=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数.则实数m的值 。
参考答案:
0
13. 若双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,
则该双曲线的渐近线方程为 .
参考答案:
略
14. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,.的第15项是 ▲ .
参考答案:
5
略
15. 函数 的单调递增区间是
参考答案:
16. 已知一个关于x,y的二元一次方程组的增广矩阵为,则x﹣y= .
参考答案:
2
【考点】二阶矩阵.
【专题】矩阵和变换.
【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组,再根据方程求解x,y即可.
【解答】解:由二元线性方程组的增广矩阵可得到
二元线性方程组的表达式 ,
解得 x=4,y=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查增广矩阵,解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义,属于基础题.
17. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示).则分数在[70,80)内的人数是 ▲ 。
参考答案:
30
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于x的方程存在实数解,求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出即可;
(2)求出f(x)的最小值,解关于m的不等式,解出即可.
【详解】(1)原不等式等价于或或
解得,故原不等式的解集为.
(2)因为,
当且仅当,即时,取等号,
所以,所以的值域为,
由题意可得,解得或,
所以的取值范围为.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题及方程的有解问题的转化,考查分类讨论思想,是一道中档题.
19. (本小题12分)设p:实数x满足,其中,命题实数满足.
(1)若且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:由得,
又,所以, ……………2分
当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.
由,得,即为真时实数的取值范围是.……4分
若为真,则真且真,所以实数的取值范围是. ……………6分
(Ⅱ) 是的充分不必要条件,即,且, …………8分
设A=,B=,则,
又A==, B==},……………10分
则0<,且所以实数的取值范围是.……………12分
略
20. (本小题满分12分)△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADC=150°,求AC的长及△ABC的面积。
参考答案:
解:在△ABC中,∠BAD=150°-60°=90°,
∴。……………………3分
在△ACD中,…………6分
………………………………………………………………8分
……………………………………12分
略
21. (本小题满分13分)某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资20万元,房地产投资30万元组成;进取型组合投资是由每份金融投资40万元,房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元,每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中,金融投资不超过160万元,房地产投资不超过180万元,求这两种组合投资应注入多少份,才能使一年获利总额最多?
参考答案:
设稳健型组合投资与进取型组合投资分别注入x,y份,
则,目标函数z=10x+15y,
作出可行域,得最优解为x=4,y=2,∴=70万元.
22. (本小题满分12分)
设a>0,b>0,c>0,求证:。
参考答案:
(本小题12分)
证明:∵ a>0,b>0,c>0
略