2021年广东省潮州市怀慈中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=ax2﹣c满足：﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，则f（3）应满足（ ）
A．﹣7≤f（3）≤26 B．﹣4≤f（3）≤15 C．﹣1≤f（3）≤20 D．
参考答案：
C
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f（3）的最值即可．
【解答】解：∵﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，
∴，
作出可行域如图所示：
令z=f（3）=9a﹣c，则c=9a﹣z，
由可行域可知当直线c=9a﹣z经过点A时，截距最大，z取得最小值，
当直线c=9a﹣z经过点B时，截距最小，z取得最大值．
联立方程组可得A（0，1），
∴z的最小值为9×0﹣1=﹣1，
联立方程组，得B（3，7），
∴z的最大值为9×3﹣7=20．
∴﹣1≤f（3）≤20．
故选C．
【点评】本题考查了简单线性规划及其变形应用，属于中档题．
2. 某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为 双．
A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200
参考答案：
D
【分析】
根据成等差可得，从而求得第二车间抽取的产品数在抽样产品总数中的比例，根据分层抽样性质可求得结果.
【详解】成等差数列
第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的比例为：
第二车间生产的产品数为：双
本题正确选项：D
【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样的问题，属于基础题.
3. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是
A．(1,8) B．(1,+∞) C．(4,8) D．[4,8)
参考答案：
D
4. 设集合，则图中阴影
部分表示的集合为
A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
5. 等比数列中, 则= （ ）
A．27 B．63 C．81 D．120
参考答案：
C
6. 设函数，则 ( )
A．在定义域内没有零点 B.有两个分别在(-∞,2011)、(2012,+∞)内的零点
C. 有两个在(2011,2012)内的零点 D.有两个分别在(-∞,-2012)、(2012,+∞)内的零点
参考答案：
C
略
7. 若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．
【解答】解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
得到M∩N={0，1}．
故选A
8. 设A、B是非空集合，定义，已知A=，B=，则A×B等于（ ）
A．；B．；C．；D．
参考答案：
D
9. 从4名男生和3名女生中选出4人参加数学竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同的选法
共有（ ）
(A)140种 (B)180种 (C)35种 (D)34种
参考答案：
D
略
10. 已知函数f（x）=x+x3，x1，x2，x3∈R，x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，那么f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（ ）
A．一定大于0 B．等于0 C．一定小于0 D．正负都有可能
参考答案：
A
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据f（x）的解析式便可看出f（x）为奇函数，且在R上单调递增，而由条件可得到x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，从而可以得到f（x1）＞﹣f（x2），f（x2）＞﹣f（x3），f（x3）＞﹣f（x1），这样这三个不等式的两边同时相加便可得到f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，从而可找出正确选项．
【解答】解：f（x）为奇函数，且在R上为增函数；
∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0；
∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1；
∴f（x1）＞﹣f（x2），f（x2）＞﹣f（x3），f（x3）＞﹣f（x1）；
∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＞﹣[f（x1）+f（x2）+f（x3）]；
∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0．
故选：A．
【点评】考查奇函数和增函数的定义，根据奇函数、增函数的定义判断一个函数为奇函数和增函数的方法，以及不等式的性质．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ▲ ．
参考答案：
；
12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则an =______.
参考答案：
【分析】
利用和的关系计算得到答案.
【详解】
当时， 满足通项公式
故答案为
【点睛】本题考查了和的关系，忽略的情况是容易发生的错误.
13. 过原点作圆的两条切线,设切点分别为,则线段
的长为 .
参考答案：
4
14. 已知，，且，则的最小值是______.
参考答案：
25
【分析】
由条件知,结合”1”的代换,可得,展开后结合基本不等式,即求得的最小值．
【详解】因为,,
所以
当且仅当时取等号,
所以
故答案为：25
【点睛】本题考查基本不等式的简单应用,注意”1”的代换.使用基本不等式,需注意”一正二定三相等”的原则,属于基础题.
15. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为______℃.
参考答案：
20.5
【分析】
根据题意列出方程组，求出，求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系，将代入求出10月份的平均气温值．
【详解】据题意得，
解得，
所以
令得.
故答案为：20.5
【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式，根据解析式求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16. 圆x2+y2+4x-4y-1=0的半径为__________。
参考答案：
3
17. 设，，，则a，b，c由小到大的顺序为 ．
参考答案：
c＜a＜b
【考点】不等关系与不等式；指数函数的图象与性质；对数值大小的比较．
【分析】由0＜sin，cos，tan＜1及幂函数、指数函数、对数函数的图象或性质即可比较出a，b，c的大小．
【解答】解：∵，∴0，即c＜0；
∵，∴0＜＜1，即0＜a＜1；
∵tan＞0，∴，即b＞1．
故c＜a＜b．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}满足，且是的等比中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使成立的最大正整数n的值.
参考答案：
(1) (2)8
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意列出有关和的方程组，可解出和的值，从而可求出数列的通项公式；
（2）先得出，利用裂项法求出数列的前项和，然后解不等式，可得出的取值范围，于此可得出的最大值。
【详解】（1）设等差数列的公差为，，即，
∴，
是，的等比中项，
∴，即，解得
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）得
∴
.
由，得，∴使得成立最大正整数的值为8.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项求和法，解等差数列的通项公式，一般是利用方程思想求出等差数列的首项和公差，利用这两个基本两求出等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题。
19. 已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（Ⅰ）依题意知，{an}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{an}的通项公式；当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求Tn．
【解答】解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足an+1﹣an=2，
∴{an}是公差为2的等差数列，又a1=3，
∴an=2n+1；
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，
bn=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，
对b1=4不成立．
∴数列{bn}的通项公式：bn=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，
当n≥2时， ==（﹣），
∴Tn=+ [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=+（﹣）
=+，
当n=1时仍成立．
∴Tn=+对任意正整数n成立．
20. 某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。
参考答案：
21. 某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
参考答案：
(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) ；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析
【分析】
（1）设有名男同学，利用抽样比列方程即可得解
（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可
（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解
【详解】（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人
（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
（3），
，
因，所以第二位同学的实验更稳定.
【点睛】本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题
22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，为等边三角形，且平面