2021年广东省潮州市怀慈中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=ax2﹣c满足:﹣4≤f(1)≤﹣1,﹣1≤f(2)≤5,则f(3)应满足( )
A.﹣7≤f(3)≤26 B.﹣4≤f(3)≤15 C.﹣1≤f(3)≤20 D.
参考答案:
C
【考点】3W:二次函数的性质.
【分析】列出不等式组,作出其可行域,利用线性规划求出f(3)的最值即可.
【解答】解:∵﹣4≤f(1)≤﹣1,﹣1≤f(2)≤5,
∴,
作出可行域如图所示:
令z=f(3)=9a﹣c,则c=9a﹣z,
由可行域可知当直线c=9a﹣z经过点A时,截距最大,z取得最小值,
当直线c=9a﹣z经过点B时,截距最小,z取得最大值.
联立方程组可得A(0,1),
∴z的最小值为9×0﹣1=﹣1,
联立方程组,得B(3,7),
∴z的最大值为9×3﹣7=20.
∴﹣1≤f(3)≤20.
故选C.
【点评】本题考查了简单线性规划及其变形应用,属于中档题.
2. 某工厂在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为 双.
A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200
参考答案:
D
【分析】
根据成等差可得,从而求得第二车间抽取的产品数在抽样产品总数中的比例,根据分层抽样性质可求得结果.
【详解】成等差数列
第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的比例为:
第二车间生产的产品数为:双
本题正确选项:D
【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样的问题,属于基础题.
3. 已知函数是R上的增函数,则实数a的取值范围是
A.(1,8) B.(1,+∞) C.(4,8) D.[4,8)
参考答案:
D
4. 设集合,则图中阴影
部分表示的集合为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
5. 等比数列中, 则= ( )
A.27 B.63 C.81 D.120
参考答案:
C
6. 设函数,则 ( )
A.在定义域内没有零点 B.有两个分别在(-∞,2011)、(2012,+∞)内的零点
C. 有两个在(2011,2012)内的零点 D.有两个分别在(-∞,-2012)、(2012,+∞)内的零点
参考答案:
C
略
7. 若集合M={﹣1,0,1},N={0,1,2},则M∩N等于( )
A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【分析】根据集合M和N,由交集的定义可知找出两集合的公共元素,即可得到两集合的交集.
【解答】解:由集合M={﹣1,0,1},N={0,1,2},
得到M∩N={0,1}.
故选A
8. 设A、B是非空集合,定义,已知A=,B=,则A×B等于( )
A.;B.;C.;D.
参考答案:
D
9. 从4名男生和3名女生中选出4人参加数学竞赛,若这4人中既有男生又有女生,则不同的选法
共有( )
(A)140种 (B)180种 (C)35种 (D)34种
参考答案:
D
略
10. 已知函数f(x)=x+x3,x1,x2,x3∈R,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,那么f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( )
A.一定大于0 B.等于0 C.一定小于0 D.正负都有可能
参考答案:
A
【考点】函数单调性的判断与证明.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据f(x)的解析式便可看出f(x)为奇函数,且在R上单调递增,而由条件可得到x1>﹣x2,x2>﹣x3,x3>﹣x1,从而可以得到f(x1)>﹣f(x2),f(x2)>﹣f(x3),f(x3)>﹣f(x1),这样这三个不等式的两边同时相加便可得到f(x1)+f(x2)+f(x3)>0,从而可找出正确选项.
【解答】解:f(x)为奇函数,且在R上为增函数;
∵x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0;
∴x1>﹣x2,x2>﹣x3,x3>﹣x1;
∴f(x1)>﹣f(x2),f(x2)>﹣f(x3),f(x3)>﹣f(x1);
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>﹣[f(x1)+f(x2)+f(x3)];
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.
故选:A.
【点评】考查奇函数和增函数的定义,根据奇函数、增函数的定义判断一个函数为奇函数和增函数的方法,以及不等式的性质.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正实数x,y满足,则xy的最大值为 ▲ .
参考答案:
;
12. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若,则an =______.
参考答案:
【分析】
利用和的关系计算得到答案.
【详解】
当时, 满足通项公式
故答案为
【点睛】本题考查了和的关系,忽略的情况是容易发生的错误.
13. 过原点作圆的两条切线,设切点分别为,则线段
的长为 .
参考答案:
4
14. 已知,,且,则的最小值是______.
参考答案:
25
【分析】
由条件知,结合”1”的代换,可得,展开后结合基本不等式,即求得的最小值.
【详解】因为,,
所以
当且仅当时取等号,
所以
故答案为:25
【点睛】本题考查基本不等式的简单应用,注意”1”的代换.使用基本不等式,需注意”一正二定三相等”的原则,属于基础题.
15. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温为______℃.
参考答案:
20.5
【分析】
根据题意列出方程组,求出,求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系,将代入求出10月份的平均气温值.
【详解】据题意得,
解得,
所以
令得.
故答案为:20.5
【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式,根据解析式求函数值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16. 圆x2+y2+4x-4y-1=0的半径为__________。
参考答案:
3
17. 设,,,则a,b,c由小到大的顺序为 .
参考答案:
c<a<b
【考点】不等关系与不等式;指数函数的图象与性质;对数值大小的比较.
【分析】由0<sin,cos,tan<1及幂函数、指数函数、对数函数的图象或性质即可比较出a,b,c的大小.
【解答】解:∵,∴0,即c<0;
∵,∴0<<1,即0<a<1;
∵tan>0,∴,即b>1.
故c<a<b.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}满足,且是的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,求使成立的最大正整数n的值.
参考答案:
(1) (2)8
【分析】
(1)设等差数列的公差为,根据题意列出有关和的方程组,可解出和的值,从而可求出数列的通项公式;
(2)先得出,利用裂项法求出数列的前项和,然后解不等式,可得出的取值范围,于此可得出的最大值。
【详解】(1)设等差数列的公差为,,即,
∴,
是,的等比中项,
∴,即,解得
∴数列的通项公式为;
(2)由(1)得
∴
.
由,得,∴使得成立最大正整数的值为8.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查裂项求和法,解等差数列的通项公式,一般是利用方程思想求出等差数列的首项和公差,利用这两个基本两求出等差数列的通项公式,考查运算求解能力,属于中等题。
19. 已知数列{an}与{bn},若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2,数列{bn}的前n项和.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和.
【分析】(Ⅰ)依题意知,{an}是以3为首项,公差为2的等差数列,从而可求得数列{an}的通项公式;当n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2n+1,对b1=4不成立,于是可求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当n=1时,T1==,当n≥2时,利用裂项法可求得=(﹣),从而可求Tn.
【解答】解:(Ⅰ)∵对任意正整数n满足an+1﹣an=2,
∴{an}是公差为2的等差数列,又a1=3,
∴an=2n+1;
当n=1时,b1=S1=4;
当n≥2时,
bn=Sn﹣Sn﹣1=(n2+2n+1)﹣[(n﹣1)2+2(n﹣1)+1]=2n+1,
对b1=4不成立.
∴数列{bn}的通项公式:bn=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当n=1时,T1==,
当n≥2时, ==(﹣),
∴Tn=+ [(﹣)+(﹣)+…+(﹣)]
=+(﹣)
=+,
当n=1时仍成立.
∴Tn=+对任意正整数n成立.
20. 某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能是企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。(精确到1万元)。
参考答案:
21. 某中学的高二(1)班男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
(1)求课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.
参考答案:
(1) 男、女同学的人数分别为3人,1人;(2) ;(3) 第二位同学的实验更稳定,理由见解析
【分析】
(1)设有名男同学,利用抽样比列方程即可得解
(2)列出基本事件总数为12,其中恰有一名女同学的有6种,利用古典概型概率公式计算即可
(3)计算出两位同学的实验数据的平均数和方差,问题得解
【详解】(1)设有名男同学,则,∴,∴男、女同学的人数分别为3人,1人
(2)把3名男同学和1名女同学记为,则选取两名同学的基本事件有,,,,,,,,,,,共12种,其中恰有一名女同学的有6种,
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
(3),
,
因,所以第二位同学的实验更稳定.
【点睛】本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式,还考查了样本数据平均数及方差计算,考查方差与稳定性的关系,属于中档题
22. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,为等边三角形,且平面