河南省焦作市修武县第一中学分校高一数学文联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，则f(－3)的值为
A．2 B．8 C. D.
参考答案：
D
2. 输入两个数执行程序后，使则下面语句程序正确的是
参考答案：
B
略
3. 如图设点O在△ABC内部,且有,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
4. 定义域为R的偶函数f(x)满足：对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x－1，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围为 ( )
A．(0，) B．(，1) C．(0，) D．(，1)
参考答案：
C
5. 函数的零点所在的一个区间为（ ）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
B
6. 小王同学为了测定在湖面上航模匀速航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得和,经过20秒后，航模直线航行到D处，测得和,则航模的速度为（ ）米/秒
A. B. 4 C. D.
参考答案：
D
【分析】
在△ABD中，由正弦定理求出，在△ABC中，由正弦定理求得，在△BCD中，由余弦定理求出，进而求出速度.
【详解】由条件可知，在△ABD中，，
，
在△ABC中，，
根据正弦定理有，
即，在△BCD中，
，
所以航模的速度为（米/秒），故选D.
【点睛】本题考查三角形中的边角关系，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题。
7. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n个图形的边长为an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
分析：观察得到从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项写出即可.
详解：由题得，从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1为首项，以为公比的等比数列，所以第个图形的边长为=.
故选D.
8. 已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），且对任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使f（x2）=g（x1），则实数a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（0，3] C．[，3] D．（0，]
参考答案：
D
【考点】二次函数的性质．
【分析】确定函数f（x）、g（x）在[﹣1，2]上的值域，根据对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x2∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x2），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，
可得f（x1）值域为[﹣1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]
即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]
∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x2∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x2）
∴，
∴0＜a≤，
故选：D．
9. 可作为函数的图象的是
参考答案：
D
10. 下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，若a = 2 ,, , 则B等于
参考答案：
或
略
12. 已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则= ．
参考答案：
【考点】两角和与差的正弦函数；函数的值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角差的正弦公式化简函数f（x）的解析式，从而求得f（）的值．
【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），
则=sin（﹣）=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．
13. 已知函数，若，则 ．
参考答案：
14. 已知函数，则f(x)的最小正周期是 ，当时，f(x)的取值范围是 ．
参考答案：
π，[0,1]
∵函数，∴函数f（x）的最小正周期T=π；
由，得，∴f（x）的取值范围是
15. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上，则圆C的方程为 ▲ ．
参考答案：
（）
16. 已知{an}是递增数列，且对任意nN+，都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是 。
参考答案：
略
17. _____.
参考答案：
【知识点】诱导公式
【试题解析】因为
故答案为：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）设是等差数列的前项和，且，。
（1）、求数列的通项公式；
（2）、若数列满足，且，设数列的前项和为，求证：。
参考答案：
（1）
（2），
得证
19. 已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；
（1）当k=4时，求上述不等式的解集；
（2）当上述不等式的解集为（﹣5，4）时，求k的值．
参考答案：
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（1）k=4时不等式化为（4x﹣16﹣4）（x﹣4）＞0，求出解集即可；
（2）不等式的解集为（﹣5，4）时，有，从而求出k的值．
【解答】解：（1）关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，
当k=4时，不等式化为（4x﹣16﹣4）（x﹣4）＞0，
解得x＜4或x＞5，
所以不等式的解集为（﹣∞，4）∪（5，+∞）；
（2）当不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为（﹣5，4）时，
有，
解得k=﹣1或k=﹣4．
20. 已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．
（1）求向量的长度的最大值；
（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则
||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．
∵﹣1≤cosβ≤1，
∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．
当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，
所以向量的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），
（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．
∵⊥（），
∴（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．
由α=，得cos（﹣β）=cos，
即β﹣=2kπ±（k∈Z），
∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．
【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．
21. 运行右图所示的程序框图，当输入实数的值为时，输出的函数值为；当输入实数的值为时，输出的函数值为.
（Ⅰ）求实数，的值；并写出函数的解析式；
（Ⅱ）求满足不等式的的取值范围. Ks5u
参考答案：
解：（Ⅰ）∵，
∴，
∴.………………………………………………………………………………2分
∵，
∴，
∴.………………………………………………………………………………4分
∴.………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
①当时，，∴…………………………………………8分
②当时，，∴…………………………………………11分
∴满足不等式的的取值范围为或.……………………13分
(说明：结果写成区间或不等式都对.)
22. 已知函数R，且.
（1）当时，若函数存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）当且时，讨论函数的零点个数.
参考答案：
解析：（1）当时，函数，其定义域是，
∴.
函数存在单调递减区间，
∴在上有无穷多个解.
∴关于的不等式在上有无穷多个解.
① 当时，函数的图象为开口向上的抛物线，
关于的不等式在上总有无穷多个解.
② 当时，函数的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为
.要使关于的不等式在上有无穷多个解.
必须，
解得，此时.
综上所述，的取值范围为.
另解：分离系数：不等式在上有无穷多个解，
则关于的不等式在上有无穷多个解，
∴，即，而.
∴的取值范围为.
（2）当时，函数，其定义域是，
∴.
令，得，即，
，
，，则，
∴
当时，；当1时，.
∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
∴当时，函数取得最大值，其值为.
① 当时，，若, 则, 即.
此时，函数与轴只有一个交点，故函数只有一个零点；
② 当时，，又,
,
函数与轴有两个交点，故函数有两个零点；
③ 当时，，函数与轴没有交点，故函数没有零点.