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2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳夏塘中学高一数学文联考试卷含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域是 A. B. C. D. 参考答案: C 【分析】 依据正切函数的定义域,代换即可求出。 【详解】因为的定义域为, 所以由,解得,故选C。 【点睛】本题主要考查正切函数的定义域,属于基础题. 2. 全集U=N 集合A={x|x=2n,nN},B={x|x=4n,nN}则(  ) A  U=A∪B   B  (CUA)B   C  U= A∪CUB    D BA 参考答案: C 略 3. 已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式恒成立的是(  ) A.a2>b2 B.>1 C.lg(a﹣b)>0 D.()a<()b 参考答案: D 【考点】3R:函数恒成立问题. 【分析】利用不等式的性质与函数的单调性质,通过特值排除,对A、B、C、D四个选项逐一分析判断即可. 【解答】解:对于A,令a=0,b=﹣1,02=0,(﹣1)2=1,满足a>b,但不满足a2>b2,故A错误; 对于B,令a=0,b=﹣1, ==0<1,故B错误; 对于C,令a=0,b=﹣1,lg(a﹣b)=lg1=0,故C错误; 对于D,y=()x为减函数,故当a>b时,()a<()b,故D正确; 综上所述,以上四个不等式恒成立的是D. 故选:D. 4. 如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为(    ) A.  B.   C.  D. 参考答案: D 5. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,,,则△ABC周长的取值范围是   A. B. C. D. 参考答案: B 分析:由得B角是钝角,由等差中项定义得A为60°,再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围. 详解:∵是和的等差中项,∴,∴, 又,则,从而,∴, ∵,∴, 所以的周长为, 又,,,∴. 故选B. 点睛:本题考查解三角形的应用,解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来,结合三角函数的恒等变换可求得取值范围.解题易错的是向量的夹角是B角的外角,而不是B角,要特别注意向量夹角的定义. 6. 下列结论正确的是  (       ) A.当时, B.的最小值为 C. 当时,           D.当时,的最小值为 参考答案: D 7. 已知点在第三象限,则角在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案: D 【分析】 由题意可得且,分别求得的范围,取交集即得答案。 【详解】由题意,, 由①知,为第三、第四或轴负半轴上的角; 由②知,为第二或第四象限角. 则角在第四象限,故选. 【点睛】本题主要考查三角函数在各象限的符号。 8. 已知,且,则等于(    ) A. B. C. D. 参考答案: B 【分析】 先根据已知条件求得值,然后求得的值,由此求得题目所求表达式的值. 【详解】依题意,由及,解得,故,故选B. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式,考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,考查运算求解能力,属于基础题. 9. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么△ABC是一个(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 参考答案: A 【考点】斜二测法画直观图. 【分析】根据“斜二测画法”的画图法则,结合已知,可得△ABC中,BO=CO=1,AO=,结合勾股定理,求出△ABC的三边长,可得△ABC的形状. 【解答】解:由已知中△ABC的直观图中B′O′=C′O′=1,A′O′=, ∴△ABC中,BO=CO=1,AO=, 由勾股定理得:AB=AC=2, 又由BC=2, 故△ABC为等边三角形, 故选:A 10. 函数的周期是   A.              B.              C.            D. 参考答案: D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,,那么x<0时, f(x)=               参考答案: 12. 已知幂函数的图象过点,则实数的值是          . 参考答案: 因为幂函数的图象过点,所以,,故答案为.   13. 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+2,则f(1)+g(1)的值等于______. 参考答案: 2 【分析】 由已知可得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),结合f(x)-g(x)=x3+x2+2,可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2,代入x=-1即可求解. 【详解】f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), ∵f(x)-g(x)=x3+x2+2, ∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2, 则f(1)+g(1)=-1+1+2=2. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值,属于基础试题. 14. 已知两个数列x,a1,a2,a3,y与x,b1,b2,y都是等差数列,且x≠y,则的值为________. 参考答案: 15. 若x>0,y>0,且y=,则x+y的最小值为        . 参考答案: 18 16. = _____________ 参考答案: 17.  已知函数为奇函数,若,则=_________. 参考答案: 1 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)已知二次函数的最小值为1,且. (1)求的解析式; (2)若在区间上不单调,求实数的取值范围; 参考答案: (1)由已知,设,由,得, 故。 (2)要使函数不单调,则,则。 (3)由已知,即,化简得,  设,则只要, 而,得。 19. (本小题满分12分) 已知是定义在上的奇函数,且,若时,有成立. (1)判断在上的单调性,并证明; (2)解不等式:; (3)若当时,对所有的恒成立,求实数的取值范围.   参考答案: (1)任取,且,则,ks5u           又为奇函数,           ,         由已知得        即.        在上单调递增.  (2)在上单调递增,            不等式的解集为  (3)在上单调递增,      在上, 问题转化为,即对恒成立,求的取值范围. 下面来求的取值范围. 设 1若,则,自然对恒成立. 2若,则为的一次函数,若对恒成立, 则必须,且,或. 的取值范围是或. 略 20. 已知数列{an}满足:,,数列{bn}满足:()。 (1)证明:数列是等比数列; (2)求数列{bn}的前n项和Sn,并比较Sn与2的大小. 参考答案: (1)见证明;(2)见解析 【分析】 (1)将原式变形为,进而得到结果;(2)根据第一问得到,错位相减得到结果. 【详解】(1)由条件得,易知,两边同除以得,又, 故数列是等比数列,其公比为。 (2)由(1)知,则 ……① ……② 两式相减得 即。 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。 21. (本题满分10分)某同学大学毕业后在一家公司上班,工作年限和年收入(万元),有以下的统计数据: 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 (Ⅰ)请画出上表数据的散点图; (Ⅱ)根据上表提供的数据,用最小二乘法求得关于的线性回归方程为 求的值; (Ⅲ)请你估计该同学第8年的年收入约是多少? 参考答案: (1)          略          ………4分 (Ⅱ),        ………7分 10分   22. 如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中(侧棱垂直于底面的四棱柱为直四棱柱),底面四边形ABCD是直角梯形,其中AB⊥AD,AB=BC=1,且AD=AA1=2. (1)求证:平面CDD1C1⊥平面ACD1; (2)求三棱锥A1﹣ACD1的体积. 参考答案: 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 【分析】(1)在底面四边形ABCD内过C作CE⊥AD于E,由已知求得AC=,CD=,则AC2+DC2=AD2,得AC⊥CD.再由题意知CC1⊥平面ABCD,从而AC⊥CC1,由线面垂直的判定可得AC⊥平面CDD1C1,进一步得到平面CDD1C1⊥平面ACD1; (2)由三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的,利用等积法求出三棱锥C﹣AA1D1的体积即可. 【解答】(1)证明:在底面四边形ABCD内过C作CE⊥AD于E, 由底面四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB=BC=1,以及AD=2,可得AC=,CE=1, 则CD=, ∴AC2+DC2=AD2,得AC⊥CD. 又由题意知CC1⊥平面ABCD,从而AC⊥CC1,而CC1∩CD=C,∴AC⊥平面CDD1C1, 又AC?平面ACD1, ∴平面CDD1C1⊥平面ACD1; (2)解:∵三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的, 故只需求三棱锥C﹣AA1D1的体积即可, 而CE⊥AD,且由AA1⊥平面ABCD,可得CE⊥AA1, 又∵AD∩AA1=A,∴有CE⊥平面ADD1A1,即CE为三棱锥C﹣AA1D1的高. 故.
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