2021年山东省青岛市平度郭庄镇郭庄中学高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 计算的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. ABC中,设命题p: ,命题q: ABC为等边三角形,则命题p是命题q的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
参考答案:
解析:根据正弦定理: ∴
∴命题 ① ∴由①得
同理由①可得 b=c, a=b ② ∴由①②得 a=b=c, 即 ABC为正三角形 ∴p q
又 q p显然成立 于是可知,p是q的充分必要条件,应选C
3. 如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系
式为那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s
参考答案:
B
略
4. 若集合,下列关系式中成立的为
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 在等比数列中,=6,=5,则等于( )
A. B. C.或 D.﹣或﹣
参考答案:
C
略
6. 当且时,函数的图象一定经过点( )
A(4,1) B (1,4). C(1,3) D(-1,3)
参考答案:
B
7. 定义域为R的偶函数f(x)满足对?x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】根据定义域为R的偶函数f(x)满足对?x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),可以令x=﹣1,求出f(1),再求出函数f(x)的周期为2,当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,画出图形,根据函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,利用数形结合的方法进行求解;
【解答】解:因为 f(x+2)=f(x)﹣f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数
令x=﹣1 所以 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1),f(﹣1)=f(1)
即 f(1)=0 则有,f(x+2)=f(x)
f(x)是周期为2的偶函数,
当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18=﹣2(x﹣3)2
图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线
∵函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,
∵f(x)≤0,
∴g(x)≤0,可得a<1,
要使函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,
令g(x)=loga(|x|+1),
如图要求g(2)>f(2),可得
就必须有 loga(2+1)>f(2)=﹣2,
∴可得loga3>﹣2,∴3<,解得﹣<a<又a>0,
∴0<a<,
故选A;
8. 函数f(x)=(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】函数的图象.
【分析】根据图象,求出A,ω,φ,再求出相应的函数值.
【解答】解:由题意,可得A=2,T=π,∴ω=2,
∵=2, =﹣2,
∴φ=,
∴f(x)=.
∴==﹣2,
故选D.
9. 函数f(x)=x3+x﹣8的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】二分法的定义.
【分析】利用函数零点存在定理,对区间端点函数值进行符号判断,异号的就是函数零点存在的区间.
【解答】解:因为f(1)=1+1﹣8=﹣6<0,
f(2)=8+2﹣8=2>0,
所以f(1)f(2)<0,
所以函数f(x)=x3+x﹣8的零点所在区间是(1,2);
故选:B.
10. 正方体的内切球和外接球的半径之比为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设其中满足,若的最大值为,则的最小值为________
参考答案:
-6
12. 菱形ABCD中,,向量 =1,
则= ____________.
参考答案:
1
略
13. 已知数列{an}为等差数列,,,若,则k=________.
参考答案:
3
【分析】
设等差数列的公差为,根据已知条件列方程组解出和的值,可求出的表达式,再由可解出的值.
【详解】设等差数列的公差为,由,得,解得,
,,因此,,故答案为:.
【点睛】本题考查等差数列的求和,对于等差数列的问题,通常建立关于首项和公差的方程组求解,考查方程思想,属于中等题.
14. 已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n﹣1)an=(n﹣1)3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn= .
参考答案:
【考点】数列的求和.
【分析】由数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n﹣1)an=(n﹣1)3n+1+3,利用迭代法求出.由此能求出数列{an}的前n项和Sn.
【解答】解:∵数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n﹣1)an=(n﹣1)3n+1+3,(n∈N*),
∴a1=3,
a1+3a2+5a3+…+(2n﹣3)an﹣1=(n﹣2)3n+3,(n≥2),
两式相减得(2n﹣1)an=(2n﹣1)?3n,
∴.
∵a1=3满足上式,
∴,
Sn=3+32+33+…+3n
==.
故答案为:.
15. 已知是偶函数,定义域为,则
参考答案:
16. 已知a ?R+, 且a ≠ 1, 又M = , N = , P = , 则M, N , P的大小关系是 .
参考答案:
M > N > P
略
17. 如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A、B的点,PA垂直于⊙O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此, ⊥平面PBC.(填图中的一条直线)
参考答案:
AF
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知集合,分别求:
(1); (2)。
参考答案:
19. 已知一个等比数列前四项之积为,第二、三项的和为,求这个等比数列的公比.
参考答案:
解析:设四个数分别为
则,
由时,可得
当时,可得
20. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示:
(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数;
(2)根据数据分析哪位运动员的成绩更稳定?
(3)如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的得分的概率.
参考答案:
(1)甲22,乙23 ……2分(2)平均数相等21,方差
甲运动员的成绩更稳定……6分(3)……10分
21. 在中,角所对的边分别为,且满足.
(I)求角的大小;
(II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
参考答案:
(I)由正弦定理得
因为所以
(II)由(I)知于是
取最大值2.
综上所述,的最大值为2,此时
22. 三个数成等差数列,其比为,如果最小数加上,则三数成等比数列,那么原三数为什么?
参考答案:
解析:设原三数为,不妨设则
∴原三数为。