2021-2022学年湖南省衡阳市 县长安中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当 时，函数的解析式为 （  ）     A．     B．         C．      D．  参考答案： A 2. 等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（　　） A． B． C．2 D．﹣ 参考答案： A 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案． 【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5． 又a10=6，则． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题． 　 3. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，……， 的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列8，，，……，的“理想数”为          A．2008        B．2009             C．2010           D．2011 参考答案： A 4. 设的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，    则的最小的边长是    A．3               B．4                C．5                 D．6 参考答案： B 5. 已知，则的值为（     ） A．     B．－    C．     D． － 参考答案： A 6. +2与﹣2两数的等比中项是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D． 参考答案： C 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】利用等比中项的定义及其性质即可得出． 【解答】解： +2与﹣2两数的等比中项==±1． 故选：C． 【点评】本题考查了等比中项的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 7. 若是△ABC的最小内角，则函数的值域是（    ） A           B              C               D 参考答案： A 8. 设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于（   ）.  A  3　　　　  B  4　　　　  C  5　　　　  D  6 参考答案： B 9. 已知是两个不共线的单位向量，向量，且， 则的最小值是                                                (    ) A．1　        　B．　　　    C．　　　  D．2 参考答案： C 10. 函数f（x）=的定义域为（　　） A．[0，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 参考答案： C 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据二次根式的性质，得到不等式，解出即可． 解答： 解：由题意得： 1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1， 故选：C． 点评： 本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）已知奇函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，且f（3）=0，则满足（x﹣1）f（x）＜0的x的取值范围是         ． 参考答案： （﹣∞，﹣3）∪（0，1）∪（3，+∞） 考点： 函数单调性的性质． 专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 运用奇函数的图象和性质可得f（x）在[﹣1，0]上为增函数，在（﹣∞，﹣1]上为减函数．且f（0）=0，f（﹣3）=f（3）=0，讨论x＞1或﹣1＜x＜1或x＜﹣1，得到不等式组，通过单调性解出它们，再求并集即可． 解答： 解：由于奇函数的图象关于原点对称， 则由奇函数f（x）在[0，1]上是增函数， 在[1，+∞）上是减函数， 可得f（x）在[﹣1，0]上为增函数， 在（﹣∞，﹣1]上为减函数． 且f（0）=0，f（﹣3）=f（3）=0， 不等式（x﹣1）f（x）＜0，即为 或或， 即有或或， 解得，x＞3或0＜x＜1或x＜﹣3， 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，1）∪（3，+∞）． 点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题． 12. 设集合，当，则的最小值为_________ 参考答案： 13. 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是____________. 参考答案： 略 14. 方程lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2）的解是x=　 　． 参考答案： 3 【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质． 【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】由对数式的真数大于0，然后去掉对数符号直接解一元二次方程得答案． 【解答】解：由lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2） 得，解得：x=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了对数式的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是验根，是基础题． 15. 在中,若 , 则 ________.                参考答案： 16. 已知 是定义在上的偶函数，那么       参考答案： 17. 偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=　　． 参考答案： 3 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论． 【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称， 所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2）， 即f（x+4）=f（x）， 则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3， 法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称， 所以f（1）=f（3）=3， 因为f（x）是偶函数， 所以f（﹣1）=f（1）=3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知=2，点（）在函数的图像上，其中=. (1)证明：数列}是等比数列； （2）设，求及数列{}的通项公式； 参考答案： （1）证明：由已知，   两边取对数得，即 是公比为2的等比数列。………6分 （2）解：由（1）知 源:            ………9分 =………12分 19. 已知，函数． （I）求的对称轴方程； （II）若对任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： （I）；（II） 【分析】 （I）利用平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用可得对称轴方程；（II）恒成立，等价于，利用，求得，可得，从而可得结果. 【详解】（I） ， 令，解得． ∴的对称轴方程为． （II）∵，∴， 又∵在上是增函数，∴， 又， ∴在时的最大值是， ∵恒成立，∴，即， ∴实数的取值范围是． 【点睛】以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 20. 已知函数. （1）若函数的周期，且满足，求及的递增区间； （2）若，在上的最小值为－3，求的最小值. 参考答案： （1），；（2）2. 【分析】 （1）由函数的性质知，关于直线对称，又函数的周期，两个条件两个未知数，列两个方程，所以可以求出，进而得到的解析式，求出的递增区间； （2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值。 【详解】（1），由知，∴对称轴 ∴，又， , 由，得， 函数递增区间为； （2）由于，在上的最小值为， 所以，即， 所以，所以. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合函数的单调性，以免求错。 21. 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．    （1）求圆C的方程； （2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0    则有      …………………2分 解得        ∴圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0  …………4分 （2）设符合条件的实数存在， 由于l垂直平分弦，故圆心必在l上． 所以l的斜率， 而，  所以．       …………5分 把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆的方程， 消去，整理得． 由于直线交圆于两点， 故， 即，解得． 则实数的取值范围是．…………………7分 由于， 故不存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦．………8分 22. 已知方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0表示圆C． （Ⅰ）求实数m的取值范围； （Ⅱ）在已知方程表示的所有圆中，能否找到圆C1，使得圆C1经过点P（2，1），Q（4，﹣1）两点，且与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切？说出理由． 参考答案： 考点： 圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： （I）将圆C方程化成标准形式得（x﹣2）2+（y+m）2=﹣m2+2m+3，因此若方程表示圆则﹣m2+2m+3＞0，解之得即可得到实数m的取值范围； （II）将点P、Q的坐标代入圆C的方程解出m=1，从而得到圆心C1（2，﹣1）且径R1=2．算出圆x2+y2﹣4x﹣5=0的圆心为C2（2，0）且半径R2=3，算得|C1C2|=1=R2﹣R1，故圆C1与圆C2相内切，因此可得存在满足条件的圆C1． 解答： 解：（I）将方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0化成标准形式，得 （x﹣2）2+（y+m）2=﹣m2+2m+3 ∵方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0表示圆C． ∴﹣m2+2m+3＞0，解之得﹣1＜m＜3 （II）若点P、Q在圆C上，则 ，解之得m=1 ∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4 圆心为C1（2，﹣1），半径R1=2 又∵圆C2：x2+y2﹣4x﹣5=0的圆心为C2（2，0），半径R2=3，圆心距|CC2|=1 ∴圆心距|C1C2|=1=R2﹣R1，故圆C1与圆C2相内切 因此存在点C1（2，﹣1），使圆C1与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切． 点评： 本题给出含有参数m的圆方程，求参数m的取值范围并探索与已知圆相切的圆是否存在．着重考查了圆的标准方程和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．