2021-2022学年河南省商丘市白楼乡联合中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知满足,,则
在区间上的最小值为( )
A. B.-2 C.-1 D.1
参考答案:
B
试题分析:由,得函数最小正周期为,则,由,可得,所以即为,因为,得,则在区间上的最小值为.
考点:三角函数的性质.
2. 如图,网格纸上小方格的边长为1(表示1cm),图中粗线和虚线是某零件的三视图,该零件是由一个底面半径为4cm,高为3cm的圆锥毛坯切割得到,则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 设函数的图像在点处切线的斜率为k,则函数k=g(t) 的部分图像为( )
参考答案:
B
4. 设函数f(x)=,则f(f(3))=( )
A. B.3 C. D.
参考答案:
D
【考点】3T:函数的值.
【分析】由条件求出f(3)=,结合函数解析式求出 f(f(3))=f()=+1,计算求得结果.
【解答】解:函数f(x)=,则f(3)=,
∴f(f(3))=f()=+1=,
故选D.
5. 已知m、n是两条不同直线,α、β是两个不同平面,给出下列命题,其中正确的是( )
A.若α∩β=m,n?α,n⊥m,则α⊥β B.若m∥β,n∥β,m、n?α,则α∥β
C.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β D.若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β
参考答案:
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】在A中,α与β不一定垂直;在B中,α与β相交或平行;在C中,由面面垂直的判定定理得α⊥β;在D中,α与β相交或平行.
【解答】解:由m、n是两条不同直线,α、β是两个不同平面,知:
在A中:若α∩β=m,n?α,n⊥m,则α与β不一定垂直,故A错误;
在B中:若m∥β,n∥β,m、n?α,则α与β相交或平行,故B错误;
在C中:若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;
在D中:若m∥α,n∥β,m∥n,则α与β相交或平行,故D错误.
故选:C.
6. 一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是( ).
A.12π B.24π
C.32π D.48π
参考答案:
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案解析】D 由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为4,
该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为×4=4,
即球的半径为2,所以该球的表面积是4π(2)2=48π.故选D.
【思路点拨】该几何体的直观图如图所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,故可求结论.
7. 已知是第三象限角,,且,则等于 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
8. 对于平面α和直线m、n,下列命题是真命题的是
A.若m、n与α所成的角相等,则m//n
B.若m//α,n//α,则m//n
C.若m⊥α,m⊥n,则n//α
D.若m⊥α,n⊥α,则m//n
参考答案:
D
略
9. 已知条件p:“函数为减函数:条件q:关于x的二次方程有解,则p是q的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
函数为减函数,则有,即。关于x的二次方程有解,则判别式,解得,即。所以p是q的充分而不必要条件,选A.
10. 如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次数学模拟考试的成绩,算法框图图乙中输入的ai为茎叶图的学生成绩,则输出的m,n,k分别是( )
A.m=18,n=31,k=11 B.m=18,n=33,k=9
C.m=20,n=30,k=9 D.m=20,n=29,k=11
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图;BA:茎叶图.
【分析】模拟程序的运行,可得算法的功能,结合茎叶图即可得解.
【解答】解:依据程序框图,可知,m表示数学成绩ai<90的学生人数,则m=18;
n表示数学成绩90≤ai≤120的学生人数,则n=33;
k表示数学成绩ai>120的学生人数,则k=9,
故选:B.
【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设数列,都是正项等比数列,,分别为数列与的前n项和,且,则 .
参考答案:
12. 设实数满足不等式组
则的最大值为________.
参考答案:
略
13. 幂函数的图像经过点,则的值为 。
参考答案:
2
14. 点为第一象限内的点,且在圆上,的最大值为________.
参考答案:
1
略
15. 设A是整数集的一个非空子集,对于,则k是A的一个“孤立元”,给定,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 个。
参考答案:
7
16. 已知是内任意一点,连结,,并延长交对边于,,,则,这是平面几何中的一个命题,运用类比猜想,对于空间四面体中,若四面体内任意点存在什么类似的命题
参考答案:
17. 定义:f1(x)=f(x),当n≥2且x∈N*时,fn(x)=f(fn﹣1(x)),对于函数f(x)定义域内的x0,若正在正整数n是使得fn(x0)=x0成立的最小正整数,则称n是点x0的最小正周期,x0称为f(x)的n~周期点,已知定义在[0,1]上的函数f(x)的图象如图,对于函数f(x),下列说法正确的是 (写出所有正确命题的编号)
①1是f(x)的一个3~周期点;
②3是点的最小正周期;
③对于任意正整数n,都有fn()=;
④若x0∈(,1],则x0是f(x)的一个2~周期点.
参考答案:
①②③
【考点】命题的真假判断与应用;函数的图象.
【分析】根据已知中点x0的最小正周期,x0称为f(x)的n~周期点的定义,逐一分析四个结论的真假可得答案.
【解答】解:f1(1)=f(1)=0,f2(1)=f(f1(1))=f(0)=,f3(1)=f(f2(1))=f()=1,
故①1是f(x)的一个3~周期点,正确;
f1()=f()=1,f2()=f(f1())=f(1)=0,f3()=f(f2())=f(0)=,
故②3是点的最小正周期,正确;
由已知中的图象可得:f()=,
故f1()=f()=,f2()=f(f1())=f()=,f3()=f(f2())=f()=,…
故③对于任意正整数n,都有fn()=,正确;
④若x0=1,则x0∈(,1],但x0是f(x)的一个3~周期点,故错误.
故答案为:①②③
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
设,曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值;
(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)f′(x)=………1分
由题设f′(1)=1,
∴,
∴a=0.………3分
(2),?x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1),
即4lnx≤m(3x﹣﹣2)………4分
设g(x)=4lnx﹣m(3x﹣﹣2),即?x∈[1,|+∞),g(x)≤0,
∴g′(x)=﹣m(3+)=,g′(1)=4﹣4m ………6分
①若m≤0,g′(x)>0,g(x)≥g(1)=0,
这与题设g(x)≤0矛盾………7分
②若m∈(0,1),当x∈(1,),g′(x)>0,g(x)单调递增,g(x)≥g(1)=0,与题设矛盾.………9分
③若m≥1,当x∈(1,+∞),),g′(x)≤0,g(x)单调递减,g(x)≤g(1)=0,即不等式成立 ………11分
综上所述,m≥1.………12分
19. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=3,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)根据正弦定理化,再根据余弦定理求出B的值;
(2)利用余弦定理求出ac的值,再求△ABC的面积.
【解答】解:(1)△ABC中,∵,
∴=,
∴ac+c2=b2﹣a2,
∴c2+a2﹣b2=﹣ac,
∴cosB==﹣=﹣,
∴B=;
(2)∵b=,a+c=3,
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2accos=(a+c)2﹣ac=9﹣ac=8,
∴ac=1;
∴△ABC的面积为S=acsin=×1×=.
20. (本小题12分)已知函数
(1)求的最小正周期。
(2)若将的图像向右平移个单位,得到函数的图像,求函数在区间上的最大值和最小值。
参考答案:
(1)
……………3分
………5分
于是。…………………………6分
(2)由已知得……………………8分
∵,∴
∴,…………………………10分
∴…………………………12分
故函数在区间上的最大值为,最小值为。
21. (12分)
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(Ⅰ)求取出的4个球均为红球的概率;
(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
参考答案:
本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
解析:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件,“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件.由于事件相互独立,且
,,
故取出的4个球均为红球的概率是
.
(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件,“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件.由于事件互斥,且
,.
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
.
22. 设函数 .
(1)求的最小值及取得最小值时x的取值范围;
(2)若集合,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3,所以f(x)min=3,此时-2≤ x ≤1.
(2)由题意得3+ax-1>0 对x∈[-2,1] 恒成立,即-2<a<1,a的范围为(-2,1).