2021-2022学年黑龙江省伊春市宜春伯塘中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1、CC1的中点,P为AD上一动点,记α为异面直线PM与D1N所成的角,则α的集合是( )
参考答案:
A
略
2. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为2:3:5,现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本,若抽到24件乙型产品,则n等于( )
A.80 B.70 C.60 D.50
参考答案:
A
【考点】分层抽样方法.
【专题】计算题;方程思想;演绎法;概率与统计.
【分析】求出抽样比,然后求解n的值即可.
【解答】解:因为,所以n=80.
故选A.
【点评】本题考查分层抽样的应用,基本知识的考查.
3. 已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三极品60个,用分层抽样法从中抽取容量为20的样本,则应抽取三极品的个数为
A.2 B.4 C.6 D.10
参考答案:
D
5. 设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件
参考答案:
A
6. 如图,空间四边形中,分别是直线上的点,如果,则点在直线( )上.
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 数列满足若, 则数列的第2009项为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 若点P(1,1)为圆的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( )
A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0
参考答案:
D
9. 已知圆,直线,则
A. l与C相离 B. l与C相交
C. l与C相切 D. 以上三个选项均有可能
参考答案:
B
【分析】
首先求得l恒过的定点,可判断出定点在圆内,从而得到直线与圆相交.
【详解】由l方程可知,直线l恒过定点:
又为圆内部的点 与相交
本题正确选项:B
10. 在中,已知,则角等于
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点到直线的距离是________________.
参考答案:
12. 已知函数,则 .
参考答案:
略
13. 设平面α的法向量为(1,2,﹣2),平面β的法向量为(﹣2,﹣4,k),若α∥β,则k= .
参考答案:
4
【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系.
【分析】根据空间面面平行的判定与性质,可得两个平行平面的法向量互相平行,由此建立关于k的等式,解之即可得到实数k的值.
【解答】解:∵α∥β
∴平面α、β的法向量互相平行,
由此可得=(1,2,﹣2),=(﹣2,﹣4,k),∥
∴==,解之得k=4.
故答案为:4
14. 已知等比数列{}中,各项都是正数,且,成等差数列,则
参考答案:
15. 命题P:关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对xR恒成立;
命题Q:f(x)=-(1-3a-a2)x是减函数.若命题PVQ为真命题,则实数a的取
值范围是________.
参考答案:
略
16. 集合,集合,若,则实数k= ____.
参考答案:
0,2,-2
【分析】
解出集合A,由可得集合B的几种情况,分情况讨论即可得解.
【详解】,若,则,
当 时,;
当 时,;
当时,;
当时,无值存在;
故答案为0,2,.
【点睛】本题考查了集合子集的应用,注意分类讨论要全面,空集的情况易漏掉.
17. 已知a、b是不同直线,、、是不同平面,给出下列命题:
①若∥,a,则a∥ ②若a、b与所成角相等,则a∥b
③若⊥、⊥,则∥ ④若a⊥, a⊥,则∥
其中正确的命题的序号是________________
参考答案:
①④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,平面PAB⊥平面ABCD,E是PA的中点,且PA=PB=AB=4,.
(Ⅰ)求证:PC∥平面EBD;
(Ⅱ) 求三棱锥A﹣PBD的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)连接AC,交BD于点O,连接EO,则PC∥EO,由此能证明PC∥平面EBD.
(Ⅱ)取AB中点H,连接PH,由V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD,能求出三棱锥A﹣PBD的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)连接AC,交BD于点O,连接EO,则O是AC的中点.
又∵E是PA的中点,∴EO是△PAC的中位线,∴PC∥EO,
又∵EO?平面EBD,PC?平面EBD,
∴PC∥平面EBD.
解:(Ⅱ)取AB中点H,连接PH,
由PA=PB得PH⊥AB,
又∵平面PAB⊥平面ABCD,
且平面PAB∩平面ABCD=AB,
∴PH⊥平面ABCD.
∵△PAB是边长为4的等边三角形,∴.
又∵=,
∴V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD=.
19. 已知椭圆C:()的离心率为,,,,的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与轴交于点M,直线PB与轴交于点N,求证:为定值.
参考答案:
(1);(2)详见解析.
试题分析:(1)根据离心率为,即,OAB的面积为1,即,椭圆中列方程组进行求解;(2)根据已知条件分别求出的值,求其乘积为定值.
试题解析:(1)由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)知,,
设,则.
当时,直线的方程为.
令,得,从而.
直线的方程为.
令,得,从而.
所以
.
当时,,
所以.
综上,为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力
【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.
20. 设角A,B,C是△ABC的三个内角,已知向量m=(sinA+sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且m⊥n.
(1)求角C的大小;
(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.
参考答案:
(1)由题意得m·n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0,即sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,由正弦定理得c2=a2+b2-ab,再由余弦定理得cosC==.
因为0b>0)的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数,且内切于圆x2+y2=4.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若直线y=x+m交椭圆于A、B两点,椭圆上一点P(1,),求△PAB面积的最大值.
参考答案: