2021-2022学年黑龙江省伊春市宜春伯塘中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是( )
参考答案：
A
略
2. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
参考答案：
A
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．
【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可．
【解答】解：因为，所以n=80．
故选A．
【点评】本题考查分层抽样的应用，基本知识的考查．
3. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
4. 在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三极品60个，用分层抽样法从中抽取容量为20的样本，则应抽取三极品的个数为
A．2 B．4 C．6 D．10
参考答案：
D
5. 设，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件
参考答案：
A
6. 如图，空间四边形中，分别是直线上的点，如果，则点在直线（ ）上.
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 数列满足若， 则数列的第2009项为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
8. 若点P(1,1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
参考答案：
D
9. 已知圆,直线,则
A. l与C相离 B. l与C相交
C. l与C相切 D. 以上三个选项均有可能
参考答案：
B
【分析】
首先求得l恒过的定点，可判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交.
【详解】由l方程可知，直线l恒过定点：
又为圆内部的点 与相交
本题正确选项：B
10. 在中，已知，则角等于
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点到直线的距离是________________.
参考答案：
12. 已知函数，则 ．
参考答案：
略
13. 设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k= ．
参考答案：
4
【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【分析】根据空间面面平行的判定与性质，可得两个平行平面的法向量互相平行，由此建立关于k的等式，解之即可得到实数k的值．
【解答】解：∵α∥β
∴平面α、β的法向量互相平行，
由此可得=（1，2，﹣2），=（﹣2，﹣4，k），∥
∴==，解之得k=4．
故答案为：4
14. 已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则
参考答案：
15. 命题P：关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对xR恒成立;
命题Q：f(x)=－(1－3a－a2)x是减函数.若命题PVQ为真命题,则实数a的取
值范围是________.
参考答案：
略
16. 集合，集合，若，则实数k= ____.
参考答案：
0，2，－2
【分析】
解出集合A，由可得集合B的几种情况，分情况讨论即可得解.
【详解】,若，则，
当 时，；
当 时，；
当时，；
当时，无值存在；
故答案为0，2，.
【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉.
17. 已知a、b是不同直线，、、是不同平面，给出下列命题：
①若∥，a，则a∥ ②若a、b与所成角相等，则a∥b
③若⊥、⊥，则∥ ④若a⊥, a⊥，则∥
其中正确的命题的序号是________________
参考答案：
①④
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，且PA=PB=AB=4，．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ） 求三棱锥A﹣PBD的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则PC∥EO，由此能证明PC∥平面EBD．
（Ⅱ）取AB中点H，连接PH，由V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD，能求出三棱锥A﹣PBD的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，∴PC∥EO，
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（Ⅱ）取AB中点H，连接PH，
由PA=PB得PH⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PH⊥平面ABCD．
∵△PAB是边长为4的等边三角形，∴．
又∵=，
∴V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD=．
19. 已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与轴交于点M，直线PB与轴交于点N，求证：为定值.
参考答案：
（1）；（2）详见解析.
试题分析：（1）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（2）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.
试题解析：（1）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力
【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.
20. 设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
参考答案：
(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝．
因为0
b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，)，求△PAB面积的最大值．
参考答案：