2021年江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中(     ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 参考答案： A 考点：演绎推理的基本方法． 专题：计算题；推理和证明． 分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论． 解答： 解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题， 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点， ∴大前提错误， 故选A． 点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论． 2.           参考答案： C 3. 抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．            B．             C．            D． 参考答案： C 4. 设f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf′（x）﹣2f（x）＞0，若△ABC是锐角三角形，则（　　） A．f（sinA）?sin2B＞f（sinB）?sin2A B．f（sinA）?sin2B＜f（sinB）?sin2A C．f（cosA）?sin2B＞f（sinB）?cos2A D．f（cosA）?sin2B＜f（sinB）?cos2A 参考答案： D 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据题意，设h（x）=，（x＞0），对h（x）求导分析可得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由△ABC是锐角三角形，分析可得＞A＞﹣B＞0，即有sinA＞cosB或cosA＜sinB，结合h（x）的单调性以及sinA＞cosB和cosA＜sinB分析答案． 【解答】解：设h（x）=，（x＞0）则其导数h′（x）==， 又由f（x）满足xf′（x）﹣2f（x）＞0， 则有h′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数， 若△ABC是锐角三角形，则有A+B＞，即＞A＞﹣B＞0，即有sinA＞cosB或cosA＜sinB， 对于sinA＞cosB， h（sinA）=，h（cosB）=， 又由sinA＞cosB，则有＞，即f（sinA）?cos2B＞f（cosA）?sin2B，可以排除A、B， 对于cosA＜sinB， h（cosA）=，h（sinB）=， 又由cosA＜sinB，则有＜，即f（cosA）?sin2B＜f（sinB）?cos2A，可得D正确， 故选：D． 5. 函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+在区间[0，]上的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣ C．1 D．0 参考答案： B 【考点】三角函数的最值． 【分析】把函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式积特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最小值 【解答】解：∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣） ∴当x∈[0，]时， ∴﹣≤2x﹣≤， ∴当2x﹣=﹣时， 函数的最小值为， 故选B． 6. 设{an}是等差数列,下列结论中一定成立的是（   ） A．若，则               B．若，则 C ．若，则         D．若，则           参考答案： D 7. 已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内运动，则z＝x－y的取值范围是（ ） A．[－2，－1]     B．[－2,1]      C．[－1,2]    D．[1,2] 参考答案： C 8. 若将如图的展开图还原成成正方体，则∠ABC的度数为(     ) A．120° B．90° C．60° D．45° 参考答案： C 考点：表面展开图． 专题：空间位置关系与距离． 分析：将展开图还原成正方体，进行求解即可． 解答： 解：还原正方形，连接ABC三个点，可得图形如图所示． 可知AB=AC=BC，所以角的大小为60° 故选：C． 点评：本题看出棱柱的结构特征，是基础题．本题考查学生的空间想象能力． 9. 已知点（a，b）在直线x+3y﹣2=0上，则u=3a+27b+3的最小值为（　　） A． B． C．6 D．9 参考答案： D 【考点】基本不等式． 【分析】由于3a?27b=3a+3b是常数，利用基本不等式求3a+27b的最小值，从而得出u=3a+27b+3的最小值． 【解答】解：∵ 又∵x+2y=2 ∴ =9 当且仅当3a=27b即a=3b时取等号 故选D 10. 若ABC的三角A:B:C=1:2:3，则A、B、C分别所对边a：b：c=(    ）   A.1:2:3    B.    C.   D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,， 则角A的大小为         。 参考答案： 略 12. 在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________ 参考答案： 13. 已知函数的最小值为2，则实数m的值为____________． 参考答案： 【分析】 求出，分，，三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，从而得到的值. 【详解】， 当时，，为减函数，故 ，解得，舍； 当时，，为减函数， ，故，舍； 当时，若，，故在上为减函数； 若，，故在上为增函数； 所以，故，符合； 综上，，故填. 【点睛】求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号． 14. 设，实数，满足若，则实数的取值范围是          ． 参考答案： [－1,3] 根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线和之间，由图可知，实数 的取值范围是，填.   15. 已知递增的等差数列满足，则 参考答案： 16. 一个边长为12cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，的值应为                   .   参考答案： 2cm   略 17. 复数的虚部是            。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 p x y （Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值； （Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是ξ=0，由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，再由P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，列出方程组，能求出p，q． （Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率： P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=． ∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q， ∴， 解得p=，q=． （Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3， P（ξ=0）=，P（ξ=3）=， P（ξ=1）=++=， P（ξ=2）=+=， ∴Eξ==． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一． 19. 已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线的弦AP，AQ，若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标． 参考答案： 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】设直线PQ方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，求得P点坐标，即可求得n=﹣2m+1或n=2m+5，由△＞0求得n=2m+5，代入PQ方程，即可求得直线PQ过定点． 【解答】解：设PQ：x=my+n，P（x1，y1），Q（x2，y2），， ∴y2﹣4my﹣4n=0，由△＞0恒成立得m2+n＞0恒成立，① y1+y2=4m，y1y2=﹣4n， 又得（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=0， 又，，得（y1﹣2）（y2﹣2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0， ∴（y1﹣2）（y2﹣2）=0或（y1+2）（y2+2）+16=0， ∴n=﹣2m+1或n=2m+5， 由①知n=2m+5， ∴PQ：x﹣5=m（y+2）， 所以直线PQ过定点（5，﹣2）． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 20. 已知函数f(x)=2sinxcosx﹣2cos2x+1， （I）求f（x）的最大值和对称中心坐标； （Ⅱ）讨论f（x）在[0，π]上的单调性． 参考答案： 【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性． 【分析】（Ⅰ）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的最值和对称中心． （Ⅱ）根据（Ⅰ）所求的关系式，利用整体思想求出函数的单调递增区间和递减区间． 【解答】解：（Ⅰ）， =， =， 则：的最大值为2， 令：（k∈Z）， 解得：（k∈Z）， 则函数f（x）对称中心为：； （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 令：，（k∈Z）， 解得：（k∈Z）， 当k=0或1时，得到函数f（x）的单调递增区间为：和； 同理：令：（k∈Z）， 解得：，（k∈Z）， 当k=0时得到函数f（x）的单调递减区间为：． 21. （12分）已知函数． （1）求函数在[1，e]上的最大值、最小值 （2）求证：在区间上，函数的图像在函数的图像下方． 参考答案： （1），当时， 所以在上为增函数， 所以，。 （2）证明：设，则= 当时，，在上为减函数， 且，故时， 所以 ，所以在上，函数的图像在函数的图像下方。 略 22. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6