2021-2022学年浙江省杭州市市育新中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设a=log2,b=,c=lnπ,则( )
A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<a<c
参考答案:
C
【考点】对数值大小的比较.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵a=log2<0,0<b=<1,c=lnπ>1,
∴a<b<c.
故选:C.
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.
2. 已知函数f(x)=,若f(a)=-π,则f(-a)=
A.0 B.1 C.π D.-π
参考答案:
C
略
3. 已知点P(x,y)满足为坐标原点,则使的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】CF:几何概型.
【分析】作出图形,求出相应区域的面积,即可求出概率.
【解答】解:如图所示,点P(x,y)满足的区域面积为=,使成立的区域如图中阴影部分,面积为﹣=1,
∴所求概率为=,
故选:D.
4. 已知点P是双曲线=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,若S=SS成立,则双曲线的离心率为( )
A.4 B. C.2 D.
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,可得△IF1F2,△IPF1,△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形.利用三角形面积公式,代入已知式S=SS,化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率.
【解答】解:如图,设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,
则IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,它们分别是:
△IF1F2,△IPF1,△IPF2的高,
∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|,
=×|PF2|×|IG|=|PF2|,
S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|,其中r是△PF1F2的内切圆的半径.
∵S=SS,
∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|,
两边约去得:|PF1|=|PF2|+|F1F2|,
∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,
根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
∴2a=c?离心率为e=2,
故选:C.
5. 已知命题p:sinx=,命题 q:x=+2kπ,k∈Z,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可.
【解答】解:∵命题,命题,
∴由p推不出q,由q能推出p,
则p是q的必要不充分条件,
故选:B.
6. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果为2,则输入的正整数a的可能取值的集合是( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4,5,6} C.{2,3,4,5} D.{2,3,4,5,6}
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】模拟程序的运行过程,结合退出循环的条件,构造关于a的不等式组,解不等式组可得正整数a的可能取值的集合.
【解答】解:输入a值,此时i=0,执行循环体后,a=2a+3,i=1,不应该退出;
再次执行循环体后,a=2(2a+3)+3=4a+9,i=2,应该退出;
故,
解得:1<a≤5,
故输入的正整数a的可能取值的集合是{2,3,4,5},
故选:C
【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中根据已知框图,采用模拟循环的方法,构造关于a的不等式组,是解答的关键.
7. 设全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
根据线面垂直的性质可知,B正确。
9. 下列结论中正确的是( )
A.若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于0
B.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ位于区域(0,1)的概率为0.4,则ξ位于区域(1,+∞)内的概率为0.6
C.从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每4'分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样
D.利用随机变量Χ2来判断“两个独立事件X,Y的关系”时,算出的Χ2值越大,判断“X与Y有关”的把握就越大
参考答案:
D
考点:相关系数.
专题:综合题;概率与统计.
分析:A.由线性相关系数r的特征,可以判定命题是否正确;
B.由变量ξ~N(1,σ2),根据对称性,求出ξ位于区域(1,+∞)内的概率,判定命题是否正确;
C.根据系统抽样与分层抽样的特征,可以判定命题是否正确;
D.由随机变量K2与观测值k之间的关系,判断命题是否正确.
解答: 解:A.两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1,因此不正确;
B.∵变量ξ~N(1,σ2),∴ξ位于区域(1,+∞)内的概率为0.5,因此不正确;
C.从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是系统(等距)抽样,不是分层抽样,因此不正确;
D.利用随机变量Χ2来判断“两个独立事件X,Y的关系”时,算出的Χ2值越大,判断“X与Y有关”的把握就越大,正确.
故选:D.
点评:本题通过命题真假的判定,考查了统计学中有关的特征量问题,解题时应明确这些特征量的意义是什么,是易错题.
10. 已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某种品牌的摄像头的使用寿命(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的溉率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 。
参考答案:
略
12. 将一个长宽分别a,b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体形的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则的取值范围为 .
参考答案:
略
13. 若在区间[ 0, 1] 上存在实数x使2x(3 x+a)<1成立, 则a的取值范围是 。
参考答案:
(-∞,1)【知识点】函数的单调性与最值B3
2x(3x+a)<1可化为a<2-x-3x,
则在区间[0,1]上存在实数x使2x(3x+a)<1成立,等价于a<(2-x-3x)max,
而2-x-3x在[0,1]上单调递减,∴2-x-3x的最大值为20-0=1,∴a<1,
故a的取值范围是(-∞,1).
【思路点拨】2x(3x+a)<1可化为a<2-x-3x,则在区间[0,1]上存在实数x使2x(3x+a)<1成立,等价于a<(2-x-3x)max,利用函数的单调性可求最值.
14. 已知实数x、y满足约束条件,则z=2x+4y的最大值为 .
参考答案:
20
【考点】简单线性规划.
【分析】先画出可行域,结合z为目标函数纵截距四倍,平移直线0=2x+4y,发现其过(0,2)时z有最大值即可求出结论.
【解答】解:画可行域如图,z为目标函数z=2x+4y,可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍,
画直线0=2x+4y,平移直线过A(2,4)点时z有最大值20
故答案为:20.
15. 在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,则l与C的交点的直角坐标为____
参考答案:
(1,2)
16. 若,则 .
参考答案:
,所以,。
17. 已知集合A = { x | x < 2 },B = { -1,0,2,3 },则A∩B = ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知椭圆的离心率为,且短轴长为,是椭圆的左右两个焦点,若直线过,且倾斜角为,交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)求的周长与面积.
参考答案:
【知识点】椭圆及其几何性质H5
【答案解析】(1) (2)8;
(1)∵离心率为,且短轴长为2,∴解得:c2=,a2=6,b2=3,
∴椭圆C的标准方程为=1;
(2)设△ABF1的周长为l,
则l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8,F2(1,0),
又∵倾斜角为45°,∴l的方程为:x-y-1=0,
∴,消x得7y2+6y-9=0,∴y1+y2=-,y1?y2=-,
∴|y1-y2|==,
∴设△ABF1的面积为S,∴S=×2c×|y1-y2|=.
∴△ABF1的周长与面积分别为8;
【思路点拨】(1)设出椭圆C的标准方程,由短轴长与离心率,结合a2=b2+c2,求出b、a,即得标准方程;
(2)求出直线AB的方程,与椭圆的方程组成方程组,利用韦达定理得y1+y2=- ,y1?y2=-,计算出|y1-y2|,求出面积.
19. 本小题满分12分)
如图,在边长为4的菱形中,.点分别在边上,点与点不重合,,.沿将翻折到的位置,使平面⊥平面.
(1)求证:⊥平面;
(2)当取得最小值时,求四棱锥的体积.
参考答案:
(Ⅰ)证明:
∵ 菱形的对角线互相垂直,
∴,∴,··············································································· 1分
∵ ,∴.
∵ 平面⊥平面,平面平面,
且平面,
∴ 平面, ∵ 平面,∴ .···················· 3分
∵ ,∴ 平面. ························································· 4分
(Ⅱ)如图,以为原点,建立空间直角坐标系.········································ 5分
(ⅰ)设 因为,所以为等边三角形,
故,.又设,则,.
所以,,,
故 ,··································································· 6分
所以,
当时,. 此时,········································ 7分