2021年广东省梅州市晋元中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义函数,
给出下列四个命题:(1)该函数的值域为;(2)当且仅当时,该函数取得最大值;(3)该函数是以为最小正周期的周期函数;(4)当且仅当时,.上述命题中正确的个数是 ( )
(A) 1个 (B)2个 (C)2个 (D)2个
参考答案:
B
略
2. 已知i是虚数单位,则2i(1+i)=( )
A.﹣2+2i B.2+2i C.2i D.﹣2i
参考答案:
A
考点:复数代数形式的乘除运算.
专题:数系的扩充和复数.
分析:根复数的基本运算进行求解即可.
解答: 解:2i(1+i)=2i+2i2=﹣2+2i,
故选:A
点评:本题主要考查复数的基本运算,比较基础.
3. 已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8
参考答案:
B
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得a的值.
【解答】解:圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 (x+1)2+(y﹣1)2=2﹣a,
故弦心距d==.
再由弦长公式可得 2﹣a=2+4,∴a=﹣4,
故选:B.
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题.
4. 已知向量, ,且,则x的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
5. 现抛掷两枚骰子,记事件为“朝上的2个数之和为偶数”,事件为“朝上的2个数均为偶数”,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,设,,以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为,则 ( )
A.随着角度的增大,增大,为定值
B.随着角度的增大,减小,为定值
C.随着角度的增大,增大,也增大
D.随着角度的增大,减小,也减小
参考答案:
B
7. 下列四个数中,哪一个是数列{}中的一项 ( )
A.380 B. 39 C. 35 D. 23
参考答案:
A
8. 若变量x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为( )
A.-7 B.-4 C.1 D.2
参考答案:
A
作出可行域如下图所示,
当过点时纵截距最小,此时也最小.由可得,所以.故选A.
9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a8=13,且S7=35.则a7=( )
A.11 B.10 C.9 D.8
参考答案:
D
【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a4=5,进而可得a4+a7=13,代入可得答案.
【解答】解:由等差数列的性质可得:
S7===35,解得a4=5,
又a3+a8=a4+a7=13,故a7=8,
故选D
10. 已知:,则下列关系一定成立的是( )
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.C,A,D三点共线 D.B,C,D三点共线
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直三棱柱ABC-A1B1C1中,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且A1P=CQ,则四棱锥B1-A1PQC1的体积与多面体ABC-PB1Q的体积的比值是 .
参考答案:
1:2. 解析:将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱,设,点到面的距离为,则,而,∴所求比值为1:2.
12. 若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理,Q表示所得到的结论,下列框图表示的证明方法是 .
参考答案:
综合法
【考点】综合法与分析法(选修).
【分析】根据证题思路,是由因导果,是综合法的思路,故可得结论.
【解答】解:∵P表示已知条件或已有的定义、公理或定理,Q表示所得到的结论,
∴证明方法是由因导果,是综合法的思路
故答案为:综合法
13. 已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
略
14. 在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是________________.
参考答案:
(0, )
15. ①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2,动点P满足|PF1|+|PF2|>10,则动点P不一定在该椭圆外部;
②椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,则b=c(c为半焦距);
③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;
④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1.
其中真命题的序号为 .
参考答案:
②③④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据点与椭圆的位置关系,可判断①; 根据离心率,求出b,c关系,可判断②;求出椭圆和双曲线的焦点,可判断③;求出抛物线上点到焦点的最小距离,可判断④
【解答】解:①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2,动点P满足|PF1|+|PF2|>10,则动点P一定在该椭圆外部,故错误;
②椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,则b=c=a(c为半焦距),正确;
③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点(,0),正确;
④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为=1,正确.
故答案为:②③④.
16. 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若b,c,a成等比数列,且a=2b,则cosA= .
参考答案:
﹣
【考点】余弦定理;正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.
【分析】由b,c,a成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再将a=2b代入,开方用b表示出c,然后利用余弦定理表示出cosB,将表示出的a和c代入,整理后即可得到cosB的值.
【解答】解:在△ABC中,∵b,c,a成等比数列,
∴c2=ab,又a=2b,
∴c2=2b2,即c=b,
则cosA===﹣.
故答案为:﹣.
【点评】此题考查了余弦定理,以及等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于中档题.
17. 在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是 __.
参考答案:
4
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ,曲线C3的极坐标方程为θ=.
(1)把曲线C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)曲线C3与曲线C1交于O、A,曲线C3与曲线C2交于O、B,求|AB|
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(1)先把参数方程转化为普通方程,利用由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得极坐标方程,
(2)利用|AB|=|ρ1﹣ρ2|即可得出.
【解答】解:(1)曲线C1的普通方程为(x﹣1)2+y2=1,即x2+y2﹣2x=0
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρcosθ=0
所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ
(2)设点A的极坐标为,点B的极坐标为,则,
所以
19. 写出下列程序运行的结果.
(1)a=2 (2)x=100
i=1 i=1
WHILE i<=6 DO
a=a+1 x=x+10
PRINT i,a PRINT i,x
i=i+1 i=i+1
WEND LOOP UNTIL x=200
END END
参考答案:
(1)1,3;2,4;3,5;4,6;5,7;6,8.
(2)1,110;2,120;3,130;4,140;5,150;6,160;7,170;8,180; 9,190;10,200.
20. 在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
(1)求的值;
(2)边a,b,c成等比数列,求的值.
参考答案:
略
21. 已知函数(m为常数,且m>0)有极大值9.
(1)求m的值;
(2)若斜率为-5的直线是曲线的切线,求此直线方程.
参考答案:
解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=m,
当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,
即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,
依题意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-.
又f(-1)=6,f(-)=,
所以切线方程为y-6=-5(x+1),或y-=-5(x+),
即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
略
22. 已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别
切⊙M于A,B两点.
(1)若|AB|=,求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程;
(2)求证:直线AB恒过定点.
参考答案:
略