2021-2022学年湖北省黄冈市大赵家高级中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前项和为,如果存在正整数和,使得,,则( )
A.的最小值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最大值为
参考答案:
B
2. 椭圆的长轴长为
(A) (B) (C) (D)1
参考答案:
B
略
3. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则△的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 时,不等式恒成立,则的取值范围是( )
参考答案:
C
略
5. 若函数,则此函数图象在点处的切线的倾斜角为
A.0 B.锐角 C. D.钝角
参考答案:
D
略
6. 设a∈R,若函数y=x+alnx在区间(,e)有极值点,则a取值范围为( )
A.(,e) B.(﹣e,﹣)
C.(﹣∞,)∪(e,+∞) D.(﹣∞,﹣e)∪(﹣,+∞)
参考答案:
B
【考点】函数在某点取得极值的条件.
【分析】函数y=f(x)=x+alnx在区间(,e)有极值点?y′=0在区间(,e)有零点.由f′(x)=1+=.(x>0).可得,解出即可.
【解答】解:函数y=f(x)=x+alnx在区间(,e)有极值点?y′=0在区间(,e)有零点.
f′(x)=1+=.(x>0).
∴,
∴,
解得.
∴a取值范围为.
故选:B.
7. 已知点在同一球面上,,,四面体的体积为,则这个球的体积为( )
A.8 B. C. D.
参考答案:
B
8. 函数f(x)=xa满足f(2)=4,那么函数g(x)=|loga(x+1)|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
从函数图像特征逐一分析。
【详解】函数g(x)=|loga(x+1)的定义域为:| ,从而排除D。
由g(x)=|loga(x+1)| 0,排除B。
时, ,排除A。
故选C。
【点睛】由题意得出,根据图形特征一一排除答案即可,注意看出图形的区别是关键。
9. 以下有关命题的说法错误的是( )
A.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若为假命题,则、均为假命题
D.对于命题,使得,则,则
参考答案:
C
略
10. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中,正确的命题是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
对于A:根据线面平行的性质可知,对;
对于B:则或 或 故B错;
对于C:则或或异面 故C错;
对于D:或异面 故D错
故选A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在空间直角坐标系中,点M(0,2,﹣1)和点N(﹣1,1,0)的距离是 .
参考答案:
【考点】空间两点间的距离公式.
【专题】方程思想;综合法;空间向量及应用.
【分析】根据所给的两个点的坐标和空间中两点的距离公式,代入数据写出两点的距离公式,做出最简结果,不能再化简为止.
【解答】解:∵点M(0,2,﹣1)和点N(﹣1,1,0),
∴|MN|==,
故答案为:.
【点评】本题考查两点之间的距离公式的应用,是一个基础题,这种题目在计算时只要不把数据代入出现位置错误,就可以做出正确结果.
12. 在△ABC中,若a=2,A=60°,则= .
参考答案:
4
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;解三角形.
【分析】根据题意,结合正弦定理可得=,将a=2,A=60°代入计算可得答案.
【解答】解:根据题意,由正弦定理可得=,
而a=2,A=60°,则===4,
即=4,
故答案为:4.
【点评】本题考查正弦定理的运用,熟练运用正弦定理是解题的关键.
13. 等差数列-3,1,5……的第6项的值是
参考答案:
17
略
14. 已知抛物线,则其焦点坐标为 ,直线与抛物线交于两点,则 .
参考答案:
(0,1),
抛物线,其焦点坐标为.
由
15. 若数列的前n项的和,则这个数列的通项公式为_____________.
参考答案:
略
16. 设复数,其中为实数,若的实部为2,则的虚部为 _.
参考答案:
17. 已知,(两两互相垂直单位向量),
那么= .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知圆A:,圆B:,动圆P与圆A、圆B均外切.
(Ⅰ) 求动圆P的圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点,求|MN|的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)设动圆P的半径为,则│PA│=,│PB│=,
∴│PA│-│PB│=2. ………………………………………3分
故点P的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,
其方程为(≥1). ………………………………………5分
(Ⅱ)(1)设MN的方程为,代入双曲线方程,得
.
由,解得. ………………………………………8分
设,则
.………………………10分
当时,. ………………………………………12分
19. 为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B的试验结果.(疱疹面积单位:mm2)
表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
频数
30
40
20
10
表2:注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
频数
10
25
20
30
15
完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”
表3
疱疹面积小于70mm2
疱疹面积不小于70mm2
合计
注射药物A
a=
b=
注射药物B
c=
d=
合计
n=
参考答案:
解答:
疱疹面积小于70mm2
疱疹面积不小于70mm2
合计
注射药物A
a=70
b=30
100
注射药物B
c=35
d=65
100
合计
105
95
n=200
由于所以有99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”
20. 某超强台风登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元,适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
捐款低于500元
6
合计
台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
附:临界值表
2.072
2.706
3.841
5.024
6635
7.879
10.828
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
参考公式: , .
参考答案:
见解析
【分析】
根据题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;
【详解】根据题意填写列联表如下,
经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
9
39
捐款低于500元
5
6
11
合计
35
15
50
计算,所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关;
21. (本小题满分10分)
如图,四棱锥的底面为菱形,,侧面是边长为2的正三角形,侧面底面.
(Ⅰ)设的中点为,求证:平面;
(Ⅱ)求斜线与平面所成角的正弦值;
参考答案:
(Ⅰ)证明:因为侧面是正三角形,的中点为,所以,
因为侧面底面,侧面底面,侧面,
所以平面. ………4分
(Ⅱ)连结,设,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,………6分
,平面的法向量,
设斜线与平面所成角的为,
则. ………10分
(不建系,参照给分)
22. 已知函数f(x)=x3+ax2﹣a2x+2.
(1)若a=1,求y=f(x)的极值;
(2)讨论f(x)的单调区间.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)将a=1代入函数的表达式,求出函数f(x)的导数,从而得到函数的单调区间,进而求出函数的极值;
(2)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,从而求出函数的单调区间.
【解答】解:(1)a=1时,f(x)=x3+x2﹣x+2,
∴f′(x)=3x2+2x﹣1=(3x﹣1)(x+1),
令f′(x)>0,解得:x>或x<﹣1,
令f′(x)<0,解得:﹣1<x<,
∴函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(,+∞)递增,在(﹣1,)递减,
∴极大值为f(﹣1)=4,极小值为;
(2)∵f′(x)=3x2+2ax﹣a2=(3x﹣a)(x+a),
当a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞),
当a>0时,令f′(x)>0,解得:x>或x<﹣a,令f′(x)<0,解得:﹣a<x<,
∴f(x)的增区间为(﹣∞,﹣a)和,减区间为,
当a<0时,令f′(x)>0,解得:x>﹣a或x<,令f′(x)<0,解得:<x<﹣a,
∴f(x)的增区间为和(﹣a,+∞),减区间为.