河南省开封市丽星中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,以F1 F2为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q,点B为圆O与y轴正半轴的交点,若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与 的一个交点,若,则=
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 函数在区间上的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
4. 执行如图所示的程序框图,若输入的的值为,则输出的的值为( )
A.3 B.126 C.127 D.128
参考答案:
C
5. 设复数满足,则( )
A. B. C.2 D.1
参考答案:
C
试题分析:因,故,故应选C.
考点:复数的运算及模的求法.
6. 如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的
高度随时间变化的可能图象是( )
参考答案:
B
略
7. 在边长为1的正方形中,为的中点,点在线段上运动,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 若复数(为虚数单位)是纯虚数,则实数( )
A. B. C.0 D.1
参考答案:
A
9.
若复数是纯虚数,则实数a的值为 ( )
A.6 B.—6 C.5 D.—4
参考答案:
答案:A
10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以平面为投影面,则得到主视图可以为( ☆ )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为 .
参考答案:
12. (3分)(2008?天津)若一个球的体积为,则它的表面积为 .
参考答案:
12π
考点: 球的体积和表面积.
专题: 计算题.
分析: 有球的体积,就可以利用公式得到半径,再求解其面积即可.
解答: 由得,所以S=4πR2=12π.
点评: 本题考查学生对公式的利用,是基础题.
13. 某高中共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采用分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为______、_______、________.
参考答案:
15 10 20
14. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知其周长为10,面积为,,则c的值为___.
参考答案:
【分析】
由三角形面积公式可求得,由余弦定理和周长构造关于的方程,解方程求得结果.
【详解】由三角形面积公式得:
由余弦定理得:
又,即,可得:
解得:
本题正确结果:
【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用,关键是能够通过余弦定理构造出关于所求边的方程,属于常考题型.
15. 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是 .
参考答案:
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱锥的结构特征.
【专题】计算题.
【分析】通过圆锥的侧面展开图,求出圆锥的底面周长,然后求出底面半径,求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积.
【解答】解:圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,
所以圆锥的底面周长为:2π,
底面半径为:1,圆锥的高为:;
圆锥的体积为:=
【点评】本题是基础题,考查圆锥的侧面展开图,利用扇形求出底面周长,然后求出体积,考查计算能力,常规题型.
16. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 .
参考答案:
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x,y,z的值,当z=10时,不满足条件z<10,退出循环,输出的值为.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
x=2,y=2,z=4
满足条件z<10,x=2,y=4,z=6
满足条件z<10,x=4,y=6,z=10
不满足条件z<10,退出循环,输出的值为
故答案为:.
【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确根据赋值语句的功能求出每次循环x,y,z的值是解题的关键,属于基础题.
17. 已知的内角的对边分别是,且,若,则的取值范围为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且b2+c2﹣a2=bc.
(1)求角A 的大小;
(2)设函数时,若,求b的值.
参考答案:
【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用.
【分析】(I)利用三角形的余弦定理求出cosA,根据A的范围,求得A的值.
(Ⅱ) 利用二倍角公式及两角和的正弦公式,化简f(x) 为,由求得,
再根据B的范围,求得B的值,再由正弦定理求得b的值.
【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理知,
注意到在△ABC中,0<A<π,所以为所求.
(Ⅱ),
由,得,
注意到,所以,由正弦定理,,
所以为所求.
19. 已知数列的各项均为正整数,且,
设集合。
性质1 若对于,存在唯一一组()使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列。
性质2 若记,且对于任意,,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列。
性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;
(Ⅰ)若数列的通项公式为,求集合,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;
(Ⅱ)若数列的通项公式为,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和。
(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合,并求数列通项公式。
参考答案:
解:(Ⅰ);
为2阶完备数列,阶完整数列,2阶完美数列;
(Ⅱ)若对于,假设存在2组及()使成立,则有
,即
,其中,必有,
所以仅存在唯一一组()使成立,
即数列为阶完备数列;
,对,,则,因为,则,所以,即
(Ⅲ)若存在阶完美数列,则由性质1易知中必有个元素,由(Ⅱ)知中元素成对出现(互为相反数),且,又具有性质2,则中个元素必为
。
略
20. (14分)
已知
(I)已知数列极限存在且大于零,求(将A用a表示);
(II)设
(III)若都成立,求a的取值范围.
参考答案:
解析:(I)由
(II)
(III)
(i)当n=1时结论成立(已验证).
(ii)假设当
故只须证明
即n=k+1时结论成立.
根据(i)和(ii)可知结论对一切正整数都成立.
故
21. 已知函数f(x)=x2﹣1.
(1)对于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对任意实数x1∈.存在实数x2∈,使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.
【专题】转化思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)由题意可得4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,由1≤x≤2,可得4m2≤,运用二次函数的最值的求法,可得右边函数的最小值,解不等式可得m的范围;
(2)f(x)在的值域为A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域为B,由题意可得A?B.分别求得函数f(x)和h(x)的值域,注意讨论对称轴和零点,与区间的关系,结合单调性即可得到值域B,解不等式可得a的范围.
【解答】解:(1)对于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,
即为4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,
由1≤x≤2,可得4m2≤,
由g(x)==4(+)2﹣,
当x=2,即=时,g(x)取得最小值,且为1,
即有4m2≤1,解得﹣≤m≤;
(2)对任意实数x1∈.
存在实数x2∈,使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,
可设f(x)在的值域为A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域为B,
可得A?B.
由f(x)在递增,可得A=;
当a<0时,h(x)=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2,(1≤x≤2),
在递增,可得B=,
可得﹣a≤0<3≤6﹣2a,不成立;
当a=0时,h(x)=2x2﹣2,(1≤x≤2),
在递增,可得B=,
可得0≤0<3≤6,成立;
当0<a≤2时,由h(x)=0,解得x=>1(负的舍去),
h(x)在递减,递增,
即有h(x)的值域为,即为,
由0≤0<3≤6﹣2a,解得0<a≤;
当2<a≤3时,h(x)在递减,递增,
即有h(x)的值域为,即为,
由0≤0<3≤a,解得a=3;
当3<a≤4时,h(x)在递减,可得B=,
由2a﹣6≤0<3≤a,无解,不成立;
当4<a≤6时,h(x)在递增,在递减,可得B=,
由2a﹣6≤0<3≤2a,不成立;
当6<a≤8时,h(x)在递增,在递减,可得B=,
由a≤0<3≤2a,不成立;
当a>8时,h(x)在递增,可得B=,
A?B不成立.
综上可得,a的范围是0≤a≤或a=3.
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和分类讨论的思想方法,考查函数的单调性的运用:求值域,考查运算能力和推理能力,属于难题.
22. 已知函数
(1)求的值;
(2)求使成立的x的取值集合.
参考答案: