2021年广东省河源市紫金第二中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示,三棱锥P﹣ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是( )
A.一条线段 B.一条直线
C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点
参考答案:
D
【考点】平面与平面垂直的性质.
【分析】利用面面垂直的性质及线面垂直的判断和性质得到AC⊥BC,可得点C在以AB为直径的圆上得答案
【解答】解:∵平面PAC⊥平面PBC,
而平面PAC∩平面PBC=PC,
又AC?面PAC,且AC⊥PC,∴AC⊥面PBC,
而BC?面PBC,∴AC⊥BC,
∴点C在以AB为直径的圆上,
∴点C的轨迹是一个圆,但是要去掉A和B两点.
故选:D.
2. 设为抛物线上的动弦,且, 则弦的中点到轴的最小距离为
A. 2 B. C. 1 D.
参考答案:
B
3. 双曲线的顶点到渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质;点到直线的距离公式.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由对称性可取双曲线的顶点(2,0),渐近线,利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离.
【解答】解:由对称性可取双曲线的顶点(2,0),渐近线,
则顶点到渐近线的距离d=.
故选C.
【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键.
4. 下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>﹣b,则﹣a>b
C.若ac>bc,则a>b D.若a>b,则a﹣c>b﹣c
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据不等式式的性质,令c=0,可以判断A的真假;由不等式的性质3,可以判断B,C的真假;由不等式的性质1,可以判断D的真假,进而得到答案.
【解答】解:当c=0时,若a>b,则ac2=bc2,故A错误;
若a>﹣b,则﹣a<b,故B错误;
若ac>bc,当c>0时,则a>b;当c<0时,则a<b,故C错误;
若a>b,则a﹣c>b﹣c,故D正确
故选D
【点评】本题考查的知识点是不等式的性质,及命题的真假判断与应用,其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键.
5. 若是连续函数,则常数
A.0 B.1 C. 2 D. -2
参考答案:
C
略
6. 求S=1+3+5+……+101的流程图程序如右图所示,
其中①应为
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
7. 设甲、乙、丙是三个命题,甲是乙的必要条件,丙是乙的充分不必要条件,那么 ( )
A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件 D.丙既不是甲的充分条件又不是甲的必要条件
参考答案:
A
略
8. 执行如图所示的程序框图,则输出s的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】循环结构.
【专题】图表型;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,s的值,当k=8时不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
s=0,k=0
满足条件k<8,k=2,s=
满足条件k<8,k=4,s=+
满足条件k<8,k=6,s=++
满足条件k<8,k=8,s=+++=
不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.
故选:D.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.
9. 圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆(x﹣7)2+(y﹣1)2=36的位置关系是( )
A.外切 B.相交 C.内切 D.外离
参考答案:
A
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】将圆的方程分别化为标准方程,找出圆心坐标和半径,利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d,可得出d=R﹣r,可得出两圆内切.
【解答】解:将圆x2+y2﹣6x+4y+12=0化为标准方程得:(x﹣3)2+(y+2)2=1,
又,(x﹣7)2+(y﹣1)2=36,
∴圆心坐标分别为(3,﹣2)和(7,1),半径分别为r=1和R=6,
∵两圆心距d==5,
∴d=R﹣r,
则两圆的位置关系是内切.
故选:A.
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定,圆与圆的位置关系可以由圆心距d与R及r的关系来判定,当d<R﹣r时,两圆内含;当d=R﹣r时,两圆内切;当R﹣r<d<R+r时,两圆相交;当d=R+r时,两圆外切;当d>R+r时,两圆外离.
10. 若总体容量为524,现采用系统方法抽样。当抽样间隔为( )时不需要剔除个体.
A.4 B.5 C.12 D.3
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是第二象限的角,则___________.
参考答案:
略
12. 如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为 .
(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为 .
参考答案:
(1) (x﹣1)2+(y﹣)2=2 .
(2) ﹣1﹣ .
【考点】圆的标准方程;圆的切线方程.
【分析】(1)确定圆心与半径,即可求出圆C的标准方程;
(2)求出圆C在点B处切线方程,令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距.
【解答】解:(1)由题意,圆的半径为=,圆心坐标为(1,),
∴圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2;
(2)由(1)知,B(0,1+),
∴圆C在点B处切线方程为(0﹣1)(x﹣1)+(1+﹣)(y﹣)=2,
令y=0可得x=﹣1﹣.
故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2;﹣1﹣.
13. 我们在学习立体几何推导球的体积公式时,用到了祖日恒原理:即两个等高的几何体,被等高的截面所截,若所截得的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.类比此方法:求双曲线(a>0,b>0),与x轴,直线y=h(h>0)及渐近线所围成的阴影部分(如图)绕y轴旋转一周所得的几何体的体积 .
参考答案:
a2hπ
【考点】类比推理.
【分析】确定AC2﹣BC2=a2,由祖暅原理知,此旋转体的体积,等价于一个半径为a,高为h的柱体的体积.
【解答】解:y=m,是一个圆环其面积
S=π(AC2﹣BC2)
∵?,
同理
∴AC2﹣BC2=a2,由祖暅原理知,此旋转体的体积,等价于一个半径为a,高为h的柱体的体积为a2hπ.
故答案为:a2hπ.
14. 将边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,在折起后形成的三棱锥中,给出下列三个命题:①面是等边三角形; ②; ③三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①②
15. 已知函数在处的切线倾斜角为45°,则a= 。
参考答案:
0
16. 已知.若,且,则____,集合____.
参考答案:
,
17. 幂函数的图象经过点(一2,一),则满足的x的值是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=BC,D、E、F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明:EF∥平面A1CD;
(2)证明:平面A1CD⊥平面ABB1A1.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明EF∥A1D即可证明EF∥平面A1CD;
(2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面A1CD⊥平面ABB1A1.
【解答】证明:(1)连结DE,
∵D,E分别是AB,BC的中点
∴DE∥AC,DE=AC,
∵F为棱A1C1的中点.
∴A1F=A1C1,
∴A1F∥AC,
即DE∥A1F,DE=A1F,
∴四边形A1DEF为平行四边形,
∴A1D∥EF
又∵EF?平面A1CD,A1D?平面A1CD,
∴EF∥平面A1CD.
(2)∵A1A⊥平面ABC,CD?平面ABC,
∴AA1⊥CD,
∵AC=BC,D为AB的中点,
∴AB⊥CD,
∵A1A∩AB=A
∴CD⊥平面ABB1A1
∵CD?平面A1CD,
∴平面A1CD⊥平面ABB1A1.
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定,要求熟练掌握相应的判定定理.
19. (满分12分)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:
每周移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
10
8
7
3
2
15
女
5
4
6
4
6
30
合计
15
12
13
7
8
45
(1)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,按分层抽样的方法,在我市所有“移动支付达人”中,随机抽取6名用户
1 求抽取的6名用户中,男女用户各多少人;
② 从这6名用户中抽取2人,求既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率.
(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,填写下表,问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为“移动支付活跃用户”与性别有关?
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
附:
非移动支付活跃用户
移动支付活跃用户
合计
男
女
合计
参考答案:
(1)① 男2人,女4人; .……2分
② . .……6分
(2)由表格数据可得列联表如下:
非移动支付活跃用户
移动支付活跃用户
合计
男
25
20
45
女
15
40
55
合计
40
60
100
将列联表中的数据代入公式计算得:
,
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下,能认为“移动支付活跃用户”与性别有关. ……12分
20. (本小题满分10分)求下列不等式的解集:
(1)6x2-x-1≥0;
(2) -x2+4x-5<0.
参考答案:
解:(1)6x2-x-1≥0,△=(-1)2-4×6×(-1)=25>0,
解方程6x2-x-1=0,即 (3x+1)(2x-1)=0,解得或,
所以不等式6x2-x-1≥0的解集为.
(2) -x2+4