2021-2022学年福建省宁德市福安第九中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在同一直角坐标系中,表示直线与正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用直线斜率与截距的意义即可得出.
【详解】假设,则中的的截距与矛盾,同理也与矛盾.
假设,则中的斜率小于零,与斜率大于零相矛盾,故符合条件.
故选:.
【点睛】本题考查了直线斜率与截距的意义,考查了数形结合的思想方法,属于基础题.
2. 一对夫妇有两个孩子,已知其中一个孩子是女孩,那么另一个孩子也是女孩的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】条件概率与独立事件.
【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】记事件A为“其中一个是女孩”,事件B为“另一个也是女孩”,分别求出A、B的结果个数,问题是求在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即求P(B|A),由条件概率公式求解即可
【解答】解:一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男,男},{男,女},{女,男},{女,女}.
记事件A为“其中一个是女孩”,事件B为“另一个也是女孩”,则A={(男,女),(女,男),(女,女)},B={(男,女),(女,男),(女,女)},AB={(女,女)}.
于是可知 P(A)=,P(AB)=.
问题是求在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即求P(B|A),由条件概率公式,
得P(B|A)===
故选D.
【点评】本题的考点是条件概率与独立事件,主要考查条件概率的计算公式:P(B|A)=,等可能事件的概率的求解公式:P(M)=(其中n为试验的所有结果,m为基本事件的结果)
3. 若弧长为4的弧所对的圆心角是2 ,则这条弧所在的圆的半径等于( )
A.8 B.4 C.2 D.1
参考答案:
C
略
4. 与直线关于轴对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 已知函数的一部分图象如右图所示,如果,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是( )
A.平面ABD⊥平面BDC B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC D.平面ABC⊥平面BED
参考答案:
D
略
7. 已知tanα=2,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】二倍角的正弦;三角函数的化简求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值.
【解答】解:∵tanα=2,则=sinα?cosα===,
故选:A.
8. 交通管理部门为了解机动车驾驶员对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为,其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数为( )
A.101 B.808 C.1212 D.2012
参考答案:
B
9. 设则的值为 ( ) ks5u
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
10. 已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若α∩β=a,β∩γ=b且a∥b,则α∥γ;
②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α, a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则b⊥α;
④若a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α.
其中正确的是( )A.①② B.②③ C.①④ D.③④
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
12. 函数f(x)=cos( x+)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,所得函数图象关于y轴对称,则φ的最小值为 .
参考答案:
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】函数f(x)=cos(x+)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称,可得出函数的形式变为了y=cos(φ+),k∈z,由余弦函数的对称性此得出φ的表达式判断出φ的最小正值得出答案.
【解答】解:∵函数f(x)=cos(x+)的图象向右平移φ个单位,
所得图象对应的函数解析式为:y=cos(φ+)
由于其图象关于y轴对称,
∴φ+=kπ,k∈z,
∴φ=﹣2kπ,k∈z,
由φ>0,可得:当k=0时,φ的最小正值是.
故答案为:
【点评】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,解题的关键是熟练掌握、理解三角函数图象的变换规律,由这些规律得到关于φ的方程,再根据所得出的方程判断出φ的最小正值,本题考查图象变换,题型新颖,题后注意总结此类题的做题规律,在近几年的高考中,此类题出现频率较高,应多加重视.
13. 如图,在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=2,∠A=120°,E、F分别是边AB、AC上的点,且,,其中m,n∈(0,1),若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1,则||的最小值是 ;
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】首先将向量用,表示,然后求向量,整理为关于n的二次函数的形式求最小值.
【解答】解:∵,,,
∴= [(1﹣m)+(1﹣n)],
∵m+2n=1,
∴ [2n+(1﹣n)],
则,
又AB=AC=2,∠A=120°,
∴=|AB|×|AC|×cos120°=2=﹣14,
∴,n∈(0,1).
∴当n=时,7(7n2﹣4n+1)有最小值为于是3
∴的最小值为.
故答案为:.
【点评】本题考查平面向量数量积运算,着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用,考查二次函数的最值求法等知识,是中档题.
14. 若函数的定义域为[-1,2],则函数的定义域是___________.
参考答案:
略
15. 函数的值域是__________.
参考答案:
解析:
而
16. 函数在区间上是减函数,那么实数的取值范围 .
参考答案:
17. 函数f(x)=的最大值为__________.
参考答案:
考点:函数的最值及其几何意义.
专题:计算题.
分析:把解析式的分母进行配方,得出分母的范围,从而得到整个式子的范围,最大值得出.
解答:解:f(x)===,
∵≥∴0<≤,
∴f(x)的最大值为,
故答案为.
点评:此题为求复合函数的最值,利用配方法,反比例函数或取倒数,用函数图象一目了然
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.
(1) 求直线AB的方程;
(2) 求直线BC的方程;
(3) 求△BDE的面积.
参考答案:
(1)直线AB的斜率为2,
∴AB边所在的直线方程为,…………4分
(2) 由 得
即直线AB与AC边中线BE的交点为B(,2)
设C(m,n),
则由已知条件得 解得; , ∴C(2,1)
∴所以BC边所在的直线方程为;……………………8分
(3) ∵E是AC的中点, ∴E(1,1)
∴E到AB的距离为:d=
又点B到CD的距离为:BD=
∴S△BDE=?d?BD= ……………………12分
另解:∵E是AC的中点, ∴E(1,1),
∴BE=,
由 得 , ∴D(,),
∴D到BE的距离为:d=,
∴S△BDE=?d?BE= ……………………12分
19. (本小题满分12分)
如图,在正方体中,分别为棱的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成角.
参考答案:
(Ⅱ)连接,
四边形是平行四边形 …………………8分
又∥就是异面直线与所成角 …10分
在正方体中
即异面直线与所成角为 ……………………12分
20. 如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为.
(1)求的值;
(2)若,求sin(α+β).
参考答案:
【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)根据三角函数定义得到角的三角函数值,把要求的式子化简用二倍角公式,切化弦,约分整理代入数值求解.
(2)以向量的数量积为0为条件,得到垂直关系,在角上表现为差是90°用诱导公式求解.
【解答】解:(1)由三角函数定义得,,
∴原式=;
(2)∵,∴
∴,∴
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.
21. 已知函数.
(Ⅰ)求在区间[]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若在[2,4]上是单调函数,求的取值范围.
参考答案:
略
22. 已知非零向量满足,且.
(1)求; (2)当时,求向量与的夹角的值.
参考答案:
解:(1)因为,即,
所以
(2)因为
又因为
所以,
又所以
略