2021年广东省湛江市洋青中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U=R,集合A={x|<0},B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于( )
A.A∩B B.A∪B C.?U(A∩B) D.?U(A∪B)
参考答案:
D
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】计算题.
【分析】先解分式不等式化简集合A,求出集合A与集合B的并集,观察得到集合{x|x≤0}是集合(A∪B)在实数集中的补集.
【解答】解:由,得x(x﹣1)<0,解得:0<x<1.
所以A={x|<0}={x|0<x<1},
又B={x|x≥1},
则A∪B={x|0<x<1}∪{x|x≥1}={x|x>0},
所以,集合{x|x≤0}=CU(A∪B).
故选D.
【点评】本题考查了分式不等式的解法,求解分式不等式时,可以转化为不等式组或整式不等式求解,考查了交、并、补集的混合运算.此题是基础题.
2. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是,
则判断框内应填入的条件是
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案:
A
略
3. 已知函数,在处取得极大值,记,程序框图如图所示,若输出的结果,则判断框中可以填人的关于n的判断条件是( )
A.? B.? C.? D.?
参考答案:
B
试题分析:,程序框图的作用是求其前项和,由于,故再循环一次就满足,故填.
4. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,D为BC的中点,动点E,F分别在AB,AC上,分别过点EG∥AD∥FH,交BC于点G、H,若EF∥BC,则EF+EG+FH的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
先根据勾股定理计算出BC=,再根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA=DB=DC,则∠B=∠DAB,∠C=∠DAC,由于EF∥BC,EG∥AD∥FH,所以∠BEG=∠DAB,∠CFH=∠DAC,EF=GH,则∠B=∠BEG,∠C=∠CFH,根据等呀哦三角形的判定得BG=EG,FH=HC,所以EF+EG+FH=GH+BG+HC=BC=.
【详解】∵∠BAC=90°,AB=2,AC=3,
∴BC== ,
∵∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴DA=DB=DC,
∴∠B=∠DAB,∠C=∠DAC,
∵EF∥BC,EG∥AD∥FH,
∴∠BEG=∠DAB,∠CFH=∠DAC,EF=GH,
∴∠B=∠BEG,∠C=∠CFH,
∴BG=EG,FH=HC,
∴EF+EG+FH=GH+BG+HC=BC=.
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似;相似三角形对应边的比相等,都等于相似比.也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质.
5. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准
线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为,的面积为2,
则
A. 2 B. 1 C. D. 3
参考答案:
A
6. 如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为
参考答案:
B
如图:过M作MD⊥OP于D,则 PM=,OM=,在中,MD=
,∴,选B. .
7. 已知全集U=R,集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0},N={y|y=3x2+1},则M∩(?UN)=( )
A.{x|﹣1≤x<1} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3}
参考答案:
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】解一元二次不等式求得M,求函数的值域得到N,根据补集的定义求得?UN,再根据两个集合的交集的定义求得M∩(?UN).
【解答】解:∵集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},N={y|y=3x2+1}={y|y≥1},∴?UN={y|y<1},
∴M∩(?UN)={x|﹣1≤x<1},
故选:A.
8. 在等差数列中,,表示数列的前项和,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A、B两点,则sin∠AFB=( )
参考答案:
B
略
10. 定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,
f(x)=,
则关于x的函数F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( )
A.1﹣2a B.2a﹣1 C.1﹣2﹣a D.2﹣a﹣1
参考答案:
A
【考点】函数的零点.
【专题】数形结合;函数的性质及应用.
【分析】函数F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内y=f(x),y=a的图象交点的横坐标.
作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,根据奇函数f(x)在x≥0时的解析式,作出函数的图象,结合图象及其对称性,求出答案.
【解答】解:∵当x≥0时,
f(x)=;
即x∈[0,1)时,f(x)=(x+1)∈(﹣1,0];
x∈[1,3]时,f(x)=x﹣2∈[﹣1,1];
x∈(3,+∞)时,f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1);
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)﹣a=0共有五个实根,
最左边两根之和为﹣6,最右边两根之和为6,
∵x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1),
∴f(﹣x)=(﹣x+1),
又f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣(﹣x+1)=(1﹣x)﹣1=log2(1﹣x),
∴中间的一个根满足log2(1﹣x)=a,即1﹣x=2a,
解得x=1﹣2a,
∴所有根的和为1﹣2a.
故选:A.
【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题,也考查了利用函数零点与方程的应用问题,是综合性题目.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设a,b,c∈{1,2,3,4,5,6},若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有 个.
参考答案:
27
【考点】D3:计数原理的应用.
【分析】先考虑等边三角形情况,则a=b=c=1,2,3,4,5,6,此时n有6个,再考虑等腰三角形情况,若a,b是腰,则a=b,列举出所有的情况,注意去掉不能构成三角形的结果,求和得到结果.
【解答】解:由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,
先考虑等边三角形情况
则a=b=c=1,2,3,4,5,6,此时n有6个
再考虑等腰三角形情况,若a,b是腰,则a=b
当a=b=1时,c<a+b=2,则c=1,与等边三角形情况重复;
当a=b=2时,c<4,则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了),此时n有2个;
当a=b=3时,c<6,则c=1,2,4,5,此时n有4个;
当a=b=4时,c<8,则c=1,2,3,5,6,有5个;
当a=b=5时,c<10,有c=1,2,3,4,6,有5个;
当a=b=6时,c<12,有c=1,2,3,4,5,有5个;
由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27个,
故答案为27.
12. 给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.重庆武中高2015级某学霸经探究发现:任何一个一元三次函数都有“拐点”,且该“拐点”也为该函数的对称中心.若,则
参考答案:
略
13. 已知函数f(x)=x的图象过点(4,2),令,记数列的前n项和为,则=
参考答案:
14. 函数的最小值_________.
参考答案:
略
15. 两个正数a,b的等差中项为2,等比中项为,且a>b,则双曲线的离心率e等于 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意建立方程,求出a,b,可得c,再根据离心率的定义即可求出.
【解答】解:∵两个正数a,b的等差中项为2,等比中项为,且a>b,
∴a+b=4,ab=3,a>b>0,
∴a=3,b=1,
∴c==,
∴e===,
故答案为:
16. 己知 是虚数单位,若 ,则__________.
参考答案:
2+i
17. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位:千瓦时)
高峰电价(单位:元/千瓦时)
低谷月用电量
(单位:千瓦时)
低谷电价(单位:元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时,低谷时间段用电量为千
瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答);
参考答案:
148.4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2CD=2,E、F分别是AB、AP的中点.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)求二面角F﹣OE﹣A的余弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)通过建立空间直角坐标系,利用EF与AO的方向向量的数量积等于0,即可证明垂直;
(2)利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值.
【解答】(1)证明:由ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于O,可知:△OAB是等腰直角三角形,
∵AB=2CD=2,E是AB的中点,∴OE=EA=EB=,可得OA=OB=2.
∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥OA,PO⊥OB.又OA⊥OB.
∴可以建立如图所示的空间直角坐标系.
则O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,0),F(1,0,1).
∴,.
∴,∴EF⊥AO,即EF⊥AC.
(2)解:由(1)可知:,.
设平面OEF的法向量为,
则,得,令x=1,则y=z=﹣1.
∴.
∵PO⊥平面OAE,∴可取作为平面OAE的法向量.
∴===.
由图可知:二面角F﹣OE﹣A的平面角是锐角θ.
因此,.
19. 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:P=(其中c为小于6的正常数)
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?