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浙江省宁波市华光学校高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 按右下图所表示的算法,若输入的是一个小于50的数,则输出的是( ) A.2005 B.65 C.64 D.63 参考答案: D 2. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度 C.假设三内角至少有一个大于60度 D.假设三内角至多有二个大于60度 参考答案: B 略 3. 已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前项和为286,则项数为( ) A.24 B.26 C.27 D.28 参考答案: B 4. 设集合,则A∩B=( ) A. B. C. D. 参考答案: A 5. 由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为( ) A. B.4 C. D.6 参考答案: C 6. 己知数列{an}满足递推关系:,,则( ). A. B. C. D. 参考答案: C 【分析】 an+1=,a1=,可得1.再利用等差数列的通项公式即可得出. 【详解】∵an+1=,a1=,∴1. ∴数列是等差数列,首项为2,公差为1. ∴2+2016=2018. 则a2017. 故选:C. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7. (算法)下图是一个求和的程序框图,如果其中判断框内填入的条件是:?,那么输出S=( ) A. B. C. D. 参考答案: B 略 8. 设,,,那么( ) A. B. C. D. 参考答案: D 略 9. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计,得到样本的频率分布直方图,则估计此样本的众数、中位数分别为( ) A.2.25,2.5 B.2.25,2.02 C.2,2.5 D.2.5,2.25 参考答案: B 【考点】频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 【分析】根据频率分布直方图,结合众数和中位数的定义进行求解即可. 【解答】解:由频率分布直方图可知,数据在[2,2.5]之间的面积最大,此时众数集中在[2,2.5]内,用区间.2的中点值来表示,∴众数为2.25. 第一组的频率为0.08×0.5=0.05,对应的频数为0.05×100=5, 第二组的频率为0.16×0.5=0.08,对应的频数为0.08×100=8, 第三组的频率为0.30×0.5=0.15,对应的频数为0.15×100=15, 第四组的频率为0.44×0.5=0.22,对应的频数为0.22×100=22, 第五组的频率为0.50×0.5=0.25,对应的频数为0.25×100=25, 前四组的频数之和为5+8+15+22=50, ∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据,则对应的中位数在5组内且比2大一点, 故2.02比较适合, 故选:B. 10. 设a∈R,则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案: A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】结合直线平行的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行, ∴a2=1, 解得a=±1, 当a=1时,两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0,满足两直线平行. 当两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0满足平行,a=1或a=﹣1, ∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件. 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用直线平行的条件是解决本题的关键. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题,,若命题是假命题,则实数的取值范围是 .(用区间表示) 参考答案: 12. 已知不等式组表示的平面区域为D,若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是__________ 参考答案: 略 13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如下图所示,则时速超过60km/h的汽车数量为 辆。 参考答案: 38 14. 已知直线与平面区域C:的边界交于A,B两点,若,则的取值范围是 . 参考答案: 15. 已知直线l:x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,则m=________,|AB|=________. 参考答案: 2 16 16. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 . 参考答案: 27万元 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】综合题. 【分析】先设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,列出约束条件,再根据约束条件画出可行域,设z=5x+3y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时,从而得到z值即可. 【解答】解:设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨, 则该企业可获得利润为z=5x+3y, 且, 联立, 解得 x=3 y=4, 由图可知,最优解为P(3,4), ∴z的最大值为z=5×3+3×4=27(万元). 故答案为:27万元. 【点评】在解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中. 17. 已知球O的半径为2,则球O的表面积为___▲__. 参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的普通方程为,曲线C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线l的参数方程和极坐标方程; (Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值. 参考答案: (Ⅰ) 直线的参数方程为(为参数) 极坐标方程为() (Ⅱ)5 【分析】 (Ⅰ) 直线的普通方程为,可以确定直线过原点,且倾斜角为,这样可以直接写出参数方程和极坐标方程; (Ⅱ)利用,把曲线的参数方程化为普通方程,然后把直线的参数方程代入曲线的普通方程中,利用根与系数的关系和参数的意义,可以求出的值. 【详解】解:(Ⅰ)直线的参数方程为(为参数) 极坐标方程为() (Ⅱ)曲线的普通方程为 将直线的参数方程代入曲线中,得, 设点对应的参数分别是,则, 【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程和极坐标方程问题,同时也考查了直线与圆的位置关系,以及直线参数方程的几何意义. 19. 已知函数(x∈R). (1)求f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC中,B为锐角,且f(B)=,AC=4,D是BC边上一点,AB=AD,试求△ADC周长的最大值. 参考答案: 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=.由,可得单调递增区间. (2)由得.又,则可求得,由AB=AD可求得:AD+DC=BD+DC=BC,又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC.由,可得.故可得周长最大值. 【解答】解:(1)===. 由,得(k∈Z). ∴单调递增区间为,k∈Z (2)由得.又,则, 从而, ∴. 由AB=AD知△ABD是正三角形,AB=AD=BD, ∴AD+DC=BD+DC=BC, 在△ABC中,由正弦定理,得,即BC=8sin∠BAC. ∵D是BC边上一点, ∴, ∴,知. 当时,AD+CD取得最大值8,周长最大值为. 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦定理的应用,综合性较强,属于中档题. 20. (本小题满分14分)用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m,那么高是多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 参考答案: 解:设该容器底面矩形的短边长为m,则另一边长为m, 此容器的高为, ……………4分 于是,此容器的容积为:, ……………6分 其中, …………8分 即,得,(舍去), ………10分 因为,在内只有一个极值点,且时,,函数递增; 时,,函数递减; …………12分 所以,当时,函数有最大值, 即当高为1.2m时,长方体容器的容积最大,最大容积为.…14分 略 21. 在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和. (I)求的取值范围; (II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由. 参考答案: 解:(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为, 代入椭圆方程得. 整理得 ① 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于, 解得或.即的取值范围为. (Ⅱ)设,则, 由方程①,. ② 又. ③ 而. 所以与共线等价于, 将②③代入上式,解得. 由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数 略 22. 设数列中, (1)求数列的通项公式 (2)令,求数列的前项和 参考答案: 解:(1) …… 以上各式相加得: ∴………………………6分 (2) 两式相减得 ∴………………………………………6分
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