2021年河南省南阳市邓州高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设向量,满足,,若,则( )
A.3 B.4 C. D.1+
参考答案:
B
2. 如果直线与直线平行,则实数a等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 设集合,,则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
4. 设,则sinβ的值为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
考点:两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系.
专题:计算题;三角函数的求值.
分析:根据α、β的取值范围,利用同角三角函数的基本关系算出且cosα=,再进行配方sinβ=sin[α﹣(α﹣β)],利用两角差的正弦公式加以计算,可得答案.
解答: 解:∵,∴α﹣β∈(﹣,0),
又∵,∴.
根据α∈(0,)且sinα=,可得cosα==.
因此,sinβ=sin[α﹣(α﹣β)]=sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α﹣β)=×﹣×(﹣)=.
故选:C
点评:本题给出角α、β满足的条件,求sinβ的值.着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式等知识,属于中档题.
5. 过点P(1,2),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A.x+y﹣3=0或x﹣2y=0 B.x+y﹣3=0或2x﹣y=0
C.x﹣y+1=0或x+y﹣3=0 D.x﹣y+1=0或2x﹣y=0
参考答案:
B
【考点】直线的截距式方程.
【分析】当直线经过原点时,可得直线方程:y=2x.当直线不经过原点时,可设直线方程为:x+y=a,把点(1,2)代入即可得出.
【解答】解:当直线经过原点时,可得直线方程:y=2x.
当直线不经过原点时,可设直线方程为:x+y=a,则a=1+2=3.可得直线方程为:x+y=3.
综上可得,直线方程为:x+y+3=0或2x﹣y=0.
故选:B.
6. 设a=log1.10.5,b=log1.10.6,c=1.10.6,则( )
A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c
参考答案:
A
【考点】对数值大小的比较.
【分析】先利用函数的单调性比较a与b的大小,再利用中间量比较c与a、b大小.
【解答】解:因为对数函数y=log1.1x在(0,+∞)上单调递增,且0.5<0.6<1
所以a<b<0,
又c=1.10.6>1,
所以a<b<c,
故选A.
【点评】本题考察比较大小,属基础题,比较三者的大小时常用中间量(0、1)法.
7. 已知数列{an}首项为1,且满足,那么an等于 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
8. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,,则的值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 已知集合,则A∩B= ( )
A. (1,2) B.(1,2] C.[2,+∞) D.[0,1)
参考答案:
C
【分析】
先将选项化简,再求.
【详解】因为,或,
所以,
故选C.
10. 在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若,则角A等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
已知等式利用正弦定理化简,根据sinB不为0求出sinA的值,再由A为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.
【详解】(1)在△ABC中,由正弦定理及已知得2sinA·sinB=sinB,
∵B为△ABC的内角,∴sinB≠0。
∴sinA=.又∵△ABC为锐角三角形,
∴A∈,∴A=。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则= .
参考答案:
.
由得,,
又,所以,所以.
12. ▲ , ▲ .
参考答案:
1,2
; .
13. 将函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于点
成中心对称,那么的最小值为________。
参考答案:
14. 函数的单调递减区间为________.
参考答案:
略
15. (5分)一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为 .
参考答案:
80 cm2
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题.
分析: 由三视图判断几何体的特征,结合三视图的数据关系,求出几何体的侧面积.
解答: 由三视图复原几何体可知,此几何体为正四棱锥,底面边长为8,侧面上的高为5,
所以S侧=4××8×5=80cm2.
故答案为:80cm2.
点评: 本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,考查计算能力,正确判断几何体的特征是解题的关键.
16. 已知且, 则__________.
参考答案:
略
17. (5分)已知f(x)=,则f(1)= .
参考答案:
3
考点: 函数的值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 直线把f(x)中的x换为1,能求出f(1)的值.
解答: ∵f(x)=,
∴f(1)==3.
故答案为:3.
点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,,,.
(Ⅰ)求tanα的值;
(Ⅱ)求β的值.
参考答案:
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】(Ⅰ)根据向量的模长,求出的值,根据二倍角公式可得答案;
(Ⅱ)利用构造的思想,求出sin(α﹣β)的值,构造tan(α﹣β),利用和与差公式即可计算.
【解答】解:(Ⅰ)∵,,
∴,即.
∵,∴,
∴,∴,
∴.
(Ⅱ)∵,
∴﹣π<α﹣β<0,
又∵,
∴,∴tan(α﹣β)=﹣7,
.
又,
∴.
19. 已知f(x)=4sinωxsin(ωx+)﹣1(ω>0),f(x)的最小正周期为π.
(Ⅰ)当x∈[0,]时,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)请用“五点作图法”画出f(x)在[0,π]上的图象.
参考答案:
【考点】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】(Ⅰ)先化简f(x),由周期可求ω,从而得f(x)解析式,再根据函数性质求出f(x)的最大值
(Ⅱ)用“五点法”可得f(x)的图象,注意x的范围
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=4sinωxsin(ωx+)﹣1=2sin2ωx﹣1+2sinωxcosωx=2sin(2ωx﹣)
由f(x)的最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin(2x﹣).
因为x∈[0,],所以2x﹣∈[﹣,],
故当2x﹣=,即x=时,f(x)取得最大值2.
(Ⅱ)由f(x)=2sin(2ωx﹣)知:
2x﹣
﹣
0
π
x
0
π
f(x)
﹣1
0
2
0
﹣2
﹣1
【点评】本题考查“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象及函数的单调性,“五点法”作图是高考考查的重点内容,要使熟练掌握.
20. 已知函数是奇函数(a>0且a≠1)
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)由奇函数可得:f(﹣x)+f(x)=0,求出m的值之后,再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可;
(2)根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明.
【解答】解:(1)∵已知函数是奇函数(a>0且a≠1),
∴f(﹣x)+f(x)=0,
∴,即,
∴,即1﹣m2x2=1﹣x2,∴m2=1,解得m=±1.
又∵,∴m=1应舍去.
当m=﹣1时,f(x)=,其定义域为{x|x<﹣1,或x>1}关于原点对称,故适合.
∴m=﹣1.
(2)当a>1时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,下面给出证明.
设1<x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)==
而(1+x1)(x2﹣1)﹣(x1﹣1)(1+x2)=2(x2﹣x1)>0,及(x1﹣1)(1+x2)>0,
∴,又a>1,
∴
∴f(x1)>f(x2).
当0<a<1时,同理可证f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
【点评】掌握函数的奇偶性和单调性是正确解题的关键.
21. 设=(1+cos x,1+sin x),=(1,0),=(1,2).
(1)求证:(﹣)⊥(﹣);
(2)求||的最大值,并求此时x的值.
参考答案:
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模.
【分析】(1)由题意可得和的坐标,计算其数量积为0即可;(2)由题意可得的不等式,由三角函数的值域可得的最大值,开方可得所求.
【解答】解:(1)由题意可得=(cosx,1+sinx),
=(cosx,sinx﹣1),
∴()?()=cos2x+sin2x﹣1=0,
∴()⊥()
(2)由题意可得=(1+cosx)2+(1+sinx)2
=3+2(sinx+cosx)=3+2sin(x+),
由三角函数的值域可知,当x+=2kπ+,
即x=2kπ+(k∈Z)时,取最大值3+2,
此时取最大值=
22. (12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足f(x)+f(y)=f(x?y).
(1)求证:f(x)﹣f(y)=;
(2)若f(2)=﹣3,解不等式f(1)﹣f()≥﹣9.
参考答案:
考点: 抽象函数及其应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)根据f(x)+f(y)=f(xy),将x代换为,代入恒等式中,即可证明;
(2)再利用f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,即可列出关于x的不等式,求解不等式,即可得到不等式的解集.
解答: (1)证明:∵f(x)+f(y)=f(xy),
将x代换为为,则有f()+f(y)=f(?y)=f(x)
∴f(x)﹣f(y)=f();
(2)∵f(2)=﹣3,
∴f(2)+f(2)=f(4)=﹣6,f(2)+f(4)=f(8)=﹣9
而由第(1)问知
∴不等式f(1)﹣f()=f(x﹣8)
可化为f(x﹣8)≥f(8).
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,
∴x﹣8≤8且x﹣8>0,
∴8<x≤16
故不等式的解集是{x|8<x≤16}.
点评: 本题考查了抽象函数及其应用,考查了利用赋值法求解抽象函数问题,解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式,也就是将不等式进行合理的转化,利用单调性去掉“f”.属于中档题.