2021-2022学年湖南省怀化市洪江红岩中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将八位数135(8)化为二进制数为( )
A 1110101(2) B1010101(2) C 1011101(2) D 1111001(2)
参考答案:
C
2. 是的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
A
3. 若(1﹣2x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017(x∈R),则++…+的值为( )
A.2 B.0 C.﹣1 D.﹣2
参考答案:
CD
【考点】DB:二项式系数的性质.
【分析】分别令x=0,或x=,即可求出答案.
【解答】解:由(1﹣2x)2017=a0+a1x+…a2017x2017(x∈R),
令x=0,可得1=a0.
令x=,可得0=1+++…+,
则++…+=﹣1,
故选:C
4. 复数在复平面内对应的点不可能位于( )
.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限
参考答案:
A
5. 已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,m∥β,则α∥β B.若m∥n,m∥α,则n∥α
C.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n D.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m∥n
参考答案:
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】利用线面、面面平行、垂直的性质,判定,即可得出结论.
【解答】解:对于A,α,β有可能相交,不正确;
对于B,若m∥n,m∥α,则n∥α或n?α,不正确;
对于C,利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出C正确;
对于D,若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m、n位置关系不确定,不正确,
故选C.
6. 复数 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 函数的单调递增区间是 ( ▲ )
A.[0,+∞) B. [1,+∞) C.(-∞,0] D.(-∞,1]
参考答案:
A
略
8. 双曲线4y2﹣25x2=100的焦点坐标是( )
A.(﹣5,0),(5,0) B.(0,﹣5),(0,5) C., D.,
参考答案:
D
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,将双曲线的方程变形为标准方程﹣=1,分析可得其焦点在y轴上以及c的值,即可得焦点的坐标.
【解答】解:根据题意,双曲线的方程为:4y2﹣25x2=100,变形可得其标准方程为﹣=1,
其焦点在y轴上,且c==,
则其焦点坐标为(0,±),
故选:D.
9. 若不等式组可表示为由直线围成的三角形区域(包括边界),则实数的范围是( )
A. (0,2) B. (2,+∞) C. (-1,2) D. (-∞,-1)
参考答案:
A
【分析】
先由题意作出表示的平面区域,再由直线恒过,结合图像,即可得出结果.
【详解】先由作出平面区域如下:
因为直线恒过,
由图像可得,当直线过与的交点时,恰好不能构成三角形,
易得与的交点为
因此,为满足题意,只需直线的斜率.
所以.
故选A
10. 直线l过点且与双曲线仅有一个公共点,这样的直线有( )
A. 1 条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列各对函数:①,②,③,④,其中是同一函数的是______________(写出所有符合要求的函数序号)
参考答案:
④
12. 如果x-1+yi与i-3x为相等复数,则实数x=______,y=______
参考答案:
略
13. 双曲线的离心率为______,其渐近线方程是_________________.
参考答案:
,
14. 若函数则
参考答案:
2
15. 已知,函数的单调减区间为
参考答案:
(-1,1)
16. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为______________.
参考答案:
略
17. 如图,已知、是椭圆的长轴上两定点,分别为椭圆的短轴和长轴的端点,是线段上的动点,若的最大值与最小值分别为3、,则椭圆方程为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,A、B、C的对边分别是a,b,c,且bcosB是acosC,ccosA的等差中项.
(1)求∠B的大小;
(2)若a+c=,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】数列与三角函数的综合;解三角形.
【分析】(1)利用等差中项的性质,知acosC+ccosA=2bcosB,由正弦定理,得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB,由此结合三角函数的性质能够求出∠B.
(2)由(1)知B=,利用余弦定理得到=,再利用三角形面积公式,能求出△ABC的面积.
【解答】解:(1)∵bcosB是acosC,ccosA的等差中项,
∴acosC+ccosA=2bcosB,
由正弦定理,得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB,
即sin(A+C)=2sinBcosB,
∵A+C=π﹣B,0<B<π,
∴sin(A+C)=sinB≠0,
∴cosB=,B=.
(2)由B=,得=,
即,
∴ac=2,
∴.
【点评】本题考查等差中项,正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式的应用,解题时要认真审题,注意三角函数恒等变换的灵活运用.
19. 甲、乙两人进行围棋比赛,记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”,事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”,已知.
(1)求甲获得比赛胜利的概率;
(2)求甲、乙两人获得平局的概率.
参考答案:
(1)0.6;(2)0.1.
【分析】
由题意,甲、乙两人进行围棋比赛,所有的可能基本事件有:甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局,它们互为互斥事件,根据互斥事件的概率公式解答。
【详解】甲、乙两人进行围棋比赛,所有的可能基本事件有:甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局,分别记做事件 、、,且 、、为互斥,则“甲获得比赛胜利或者平局”为事件 、的和事件,“乙获得比赛的胜利或者平局”为、的和事件,由互斥事件的和事件概率公式得:
又
,,
故甲获得比赛胜利的概率为;
甲、乙两人获得平局的概率为;
【点睛】本题考查互斥事件的概率公式及应用,属于基础题。
20. 已知函数f(x)=ex﹣a(x﹣1),x∈R.
(1)若实数a>0,求函数f(x)在(0,+∞)上的极值;
(2)记函数g(x)=f(2x),设函数y=g(x)的图象C与y轴交于P点,曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S(a),求当a>1时S(a)的最小值.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求出函数的导数,对a进行讨论,分别判断函数的单调性,最后根据a的不同取值得出的结论综合即可;
(2)g(x)=f(2x)=e2x﹣a(2x﹣1),计算出切线斜率,写出切线方程y﹣(1+a)=(2﹣2a)(x﹣0),求得在坐标轴上的截距,利用三角形的面积公式得到面积S(a)的表达式,最后利用基本不等式求此函数的最小值即可.
【解答】解:(1)由f'(x)=ex﹣a=0,得x=lna.
①当a∈(0,1]时,f'(x)=ex﹣a>1﹣a≥0(x>0).此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.函数无极值.
②当a∈(1,+∞)时,lna>0.
x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,lna)
lna
(lna,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
f(x)
单调减
极小值
单调增
由此可得,函数有极小值且f(x)极小=f(lna)=a﹣a(lna﹣1)=2a﹣alna.
(2)g(x)=f(2x)=e2x﹣a(2x﹣1),g(0)=1+a
切线斜率为k=g'(0)=2﹣2a,切线方程y﹣(1+a)=(2﹣2a)(x﹣0),
由∴=
当且仅当(a﹣1)2=4,即a=3时取等号.∴当a=3时,S(a)最小值为2.
【点评】考查利用导数研究函数的极值.解答关键是要对函数求导,做题时要注意对a进行讨论,最后得出函数的极值和单调区间.
21. 某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度,随机选取了100名年龄在20岁至60岁的市民进行问卷调查,并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类.得到下表:
年龄
调查人数/名
30
30
25
15
了解“一带一路”倡议/名
12
28
15
5
(I)完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为以40岁为分界点对“一带一路”倡议的了解有差异(结果精确到0.001);
年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
了解
不了解
合计
(Ⅱ)以频率估计概率,若在该地选出4名市民(年龄在20岁至60岁),记4名市民中了解“一带一路”倡议的人数为X,求随机变量X的分布列,数学期望和方差.
附:
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
,其中.
参考答案:
(Ⅰ)填表见解析,有90%的把握认为以40岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异(Ⅱ)见解析
【分析】
(Ⅰ)由表格读取信息,年龄低于岁的人数共60人,年龄不低于岁的人数,代入公式计算;
(Ⅱ)在总体未知的市民中选取4人,每位市民被选中的概率由频率估计概率算出,所以随机变量服从二项分布.
【详解】解:(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联表
年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
了解
不了解
合计
故有的把握认为以岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异.
(Ⅱ)由题意,得市民了解“一带一路”倡议的概率为,.
,,,
,,
则的分布列为
,.
【点睛】本题要注意选取4人是在总体中选,而不是在100人的样本中选,如果看成是在样本中100人选4人,很容易误用超几何分布模型求解.
22. 已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2+ax+1>0对?x∈R恒成立,若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【分析】先解命题,再研究命题的关系,函数y=ax在R上单调递增,由指数函数的单调性解决;等式ax2+ax+1>0对?x∈R恒成立,用函数思想,又因为是对全体实数成立,可用判断式法解决,若p且q为假,p或q为真,两者是一真一假,计算可得答案.
【解答】解:∵y=ax在R上单调递增,
∴a>1;
又a>0,不等式ax2+ax+1>0对?x∈R恒成立,
∴△<0,