2021年北京教育学院分院附属中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y = x (x∈(0,+∞)) B.y = 3x (x∈R)
C.y = x (x∈R) D.y = lg|x| (x≠0)
参考答案:
C
2. 在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
参考答案:
C
3. 对a,b∈R,记max{a,b}=,函数f(x)=max{|x+1|,|x﹣2|}(x∈R)的最小值是( )
A.0 B. C. D.3
参考答案:
C
【考点】函数的值域.
【分析】根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x﹣2|哪一个更大先求出f(x)的解析式,再求出f(x)的最小值.
【解答】解:当x<﹣1时,|x+1|=﹣x﹣1,|x﹣2|=2﹣x,因为(﹣x﹣1)﹣(2﹣x)=﹣3<0,所以2﹣x>﹣x﹣1;
当﹣1≤x<时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x,因为(x+1)﹣(2﹣x)=2x﹣1<0,x+1<2﹣x;
当<x<2时,x+1>2﹣x;
当x≥2时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=x﹣2,显然x+1>x﹣2;
故f(x)=
据此求得最小值为.
故选C.
4. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
C
略
5. 下列所示各函数中,为奇函数的是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知函数f(x)=x2?sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】函数的图象.
【分析】先判断函数的奇偶性和,再令x=时,f()=﹣<0,问题得以解决.
【解答】解:f(x)=x2?sin(x﹣π)=﹣x2?sinx,
∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2?sin(﹣x)=x2?sinx=﹣f(x),
∴f(x)奇函数,
∵当x=时,f()=﹣<0,
故选:D
【点评】本题考查了函数图象的识别,关键掌握函数的奇偶性和函数值得特点,属于基础题.
7. △ABC的三个内角为A、B、C,若,则sin2B+2cosC的最大值为( )
A. B.1 C. D.2
参考答案:
C
【考点】HW:三角函数的最值.
【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得A的值,再利用余弦函数的定义域和值域,求得t=cosC 的范围,利用二次函数的性质,求得sin2B+2cosC的最大值.
【解答】解:∵△ABC的三个内角为A、B、C,若,则=tan(+)=,
求得 tanA=1,∴A=,B+C=,
sin2B+2cosC=sin2(﹣C)+2cosC=﹣2cos2C+2cosC=1﹣2cos2C+2cosC.
令t=cosC,C∈(0,),则t∈(﹣,1),要求的式子为﹣2t2+2t+1=﹣2?+,
故当t=时,则sin2B+2cosC取得最大值为,
故选:C.
8. 已知a,b,c彼此不等,并且它们的倒数成等差数列,则=( )
(A) (B)– (C) (D)–
参考答案:
B
9. (4分)直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于()
A. B. C. 2 D.
参考答案:
D
考点: 直线和圆的方程的应用.
专题: 计算题.
分析: 先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD,然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D,根据勾股定理求出弦长的一半BD,乘以2即可求出弦长AB.
解答: 解:连接OB,过O作OD⊥AB,根据垂径定理得:D为AB的中点,
根据(x+2)2+(y﹣2)2=2得到圆心坐标为(﹣2,2),半径为.
圆心O到直线AB的距离OD==,而半径OB=,
则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==,所以AB=2BD=
故选D.
点评: 考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题,以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形.灵活运用垂径定理解决数学问题.
10. 四边形中,,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法进行试验,由1、2、3、4表示下雨,由5、6、7、8、9、0表示不下雨,利用计算器中的随机函数产生0?9之间随机整数的20组如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
参考答案:
12. 已知等比数列的前n项和为Sn,若S3:S2=3:2,则公比q= .
参考答案:
【考点】8G:等比数列的性质.
【分析】验证q=1是否满足题意,q≠1时,代入求和公式可得关于q的方程,解方程可得.
【解答】解:若q=1,必有S3:S2=3a1:2a1=3:2,满足题意;
故q≠1,由等比数列的求和公式可得S3:S2=: =3:2,
化简可得2q2﹣q﹣1=0,解得q=﹣,
综上,q=.
故答案为:.
13. 如图,在长方体ABCD – A1B1C1D1中,AB=3 cm,AD=2 cm,AA1=1 cm,则三棱锥B1– AB D1的体积为 cm3.
参考答案:
1
.
14. 函数y=Asin(ωx+?)(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为 .
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】根据所给的图象,可以看出图象的振幅是2,得到A=2,看出半个周期的值,得到ω,根据函数的图象过定点,把点的坐标代入求出φ的值,得到三角函数的解析式.
【解答】解:由图象可知A=2,,
∴T=π,
∴ω=2,
∴三角函数的解析式是y=2sin(2x+φ)
∵函数的图象过(﹣,2)这一点,
把点的坐标代入三角函数的解析式,
∴2=2sin[2(﹣)+φ]
∴φ﹣=2k,
∵0<φ<π,
∴φ=
∴三角函数的解析式是y=2sin(2x+)
故答案为:y=2sin(2x+)
15. △ABC三边各不相等,角A,B,C的对边分别为a,b,c且acosA=bcosB,则的取值范围是 .
参考答案:
16. 如果幂函数的图象经过点,则的值等于_____________.
参考答案:
略
17. 已知a=22.1,b=21.9,c=0.32.1,则a,b,c大小关系为 .
参考答案:
a>b>c
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】根据指数函数的单调性,判断函数的取值范围即可比较大小.
【解答】解:22.1>21.9>1,c=0.32.1<1,
即a>b>c,
故答案为:a>b>c
【点评】本题主要考查指数幂的大小比较,根据指数函数的单调性是解决本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知向量a=(sinB,1-cosB)与向量b=(2,0)的夹角为,其中A、B、C是△ABC的内角.
(1)求B的大小;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
参考答案:
整理,得1-cosB-2sin2B=0,
即2cos2B-cosB-1=0.
∴cosB=1或cosB=-.
∵B为△ABC的内角,
∴00
又>0 ∴>0即
∴在上为减函数.
(3)因是奇函数,从而不等式:
等价于,
因为减函数,由上式推得:.
即对一切有:恒成立,
设,令,
则有,
,即k的取值范围为。
略
20. 已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数,f(1)=﹣.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】(1)根据函数的奇偶性求出b的值,根据f(1)的值,求出a即可;
(2)根据函数单调性的定义证明即可.
【解答】解:(1)因为f(x)在定义域为R上是奇函数,所以f(0)=0,
即=0,解得:b=1,
又由f(1)=﹣,即=﹣,解得:a=1,
经检验b=1,a=1满足题意;
(2)证明:由(1)知f(x)=,任取x1,x2∈R,设x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
因为函数y=2x在R上是增函数且x1<x2,
∴﹣>0
又(+1)(+1)>0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上为减函数.
21. 已知单位向量的夹角为求向量的夹角。
参考答案:
解:有单位向量的夹角为,得
又 3
所以 , 设的夹角为,
又所以。
即向量与的夹角为。
22. 如图,在六面体中,平面∥平面,平面,,,∥,且,.
(I)求证:平面平面;
(II)求证:∥平面;
(III)求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)∵平面∥平面,平面平面,
平面平面
.
∴为平行四边形,.
平面,平面,
平面,
∴平面平面.
(2)取的中点为,连接、,
则由已知条件易证四边形是平行四边形,
∴,又∵, ∴
∴四边形是平行四边形,即,
又平面 故 平面.
(3)平面∥平面,则F到面ABC的距离为AD.
=