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高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线的倾斜角为()ABCD不存在2下列向量与向量共线的单位向量为()ABCD3若方程表示圆,则实数 a 的取值范围为()ABCD4设直线 l 的方向向量为,平面的一个法向量为,若直线/平面,则实数z 的值为()A-5B5C-1D15圆 :和圆 :的公切线的条数为()A1B2C3D46已知空间向量,若,则()ABCD7已知直线 :过定点 ,直线 过点 且与直线 垂直,则直线 的方程为()ABCD8我国古代数学名著九章算术商功中记载“斜解立方,得两堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱在堑堵中,P 为的中点,则()A6B-6C2D-29直线和将单位圆分成长度相等的四段弧,则()AB2C1D310在如图所示的几何体中,平面 PDC,是等腰直角三角形,四边形 ABCD 为平行四边形,且,则点 C 到平面 PAB 的距离为()A1BCD11如图,在直三棱柱中,D 为上一点(不在端点处),且,若为锐角三角形,则 m 的取值范围是()ABCD12已知点是圆上的一点,记点 P 到 x 轴距离为,到原点 O 的距离为,则当取最小值时,()ABCD二、填空题二、填空题13在空间直角坐标系中,已知,若,则实数 14已知过的直线 l 与直线没有公共点,则直线 l 的方程为 15圆与圆的公共弦长为 .16如图,在四棱锥 SABCD 中,SA平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,BAD90,且AB4,SA3,E、F 分别为线段 BC、SB 上的一点(端点除外),满足,则当实数 的值为 时,AFE 为直角三、解答题三、解答题17已知 A(1,1),B(2,2),C(3,0)三点,求点 D,使直线 CDAB,且 CBAD18已知(2,3,1),(1,0,3),(0,1,2)(1)求的值;(2)已知,|,求19已知圆 的圆心在坐标原点 ,直线 的方程为 .(1)若圆 与直线 相切,求圆 的标准方程;(2)若圆 上恰有两个点到直线 的距离是 1,求圆 的半径的取值范围.20在直三棱柱中,E、F 分别为、的中点(1)求直线 AE 与所成角的大小;(2)判断直线与平面 ABF 是否垂直21已知圆 C 的方程为(1)设 O 为坐标原点,P 为圆 C 上任意一点,求的最大值与最小值;(2)设直线,记直线 l 被圆 C 截得的弦长为 a,直线 l 被圆截得的弦长为 b,试比较 a 与 b 的大小22如图,在四棱锥中,已知底面,异面直线和所成角等于.(1)求直线和平面所成角的正弦值;(2)在棱上是否存在一点 E,使得平面 PAB 与平面 BDE 所成锐二面角的正切值为?若存在,指出点在棱上的位置;若不存在,说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】直线与 x 轴平行,斜率为 0,所以直线的倾斜角为 0,故答案为:A【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出答案.2【答案】C【解析】【解答】由,与向量共线的单位向量为或.故答案为:C【分析】由与向量共线的单位向量为,求解可得答案.3【答案】B【解析】【解答】方程化为标准方程为,有,.故答案为:B【分析】把圆的方程化为标准方程,即可求出实数 a 的取值范围.4【答案】B【解析】【解答】由直线/平面,知向量与垂直,则有,解得.故答案为:B【分析】根据线面平行,求出法向量与直线的方向向量垂直,即可求出实数 z 的值.5【答案】C【解析】【解答】由题知圆 :的圆心 ,半径 ,圆 :的圆心 ,半径 ,所以 ,所以两圆外切,所以两圆共有 3 条公切线.故答案为:C【分析】根据题意求出圆心坐标以及半径,然后由两点间的距离公式求出两圆的圆心距,再与两圆的半径之和进行比较,从而得出两圆的位置关系,由此即可得出公切线的条数。6【答案】A【解析】【解答】由得,解得,则,所以,故答案为:A【分析】由求得,再由,求出答案.7【答案】A【解析】【解答】由题意,直线 :,过定点 ,则直线 过定点 ,直线 与直线 垂直,则直线 的斜率 ,直线 的方程为 ,即 .故答案为:A.【分析】由已知条件即可得出直线过的定点,再由直线垂直的斜率之间的关系,结合点斜式即可求出直线的方程。8【答案】A【解析】【解答】根据堑堵的几何性质知:,因为,所以.故答案为:A【分析】由条件得,将 用向量表示,代入数量积的公式进行运算,即可求得答案.9【答案】B【解析】【解答】由题意得直线和单位圆弦长皆为,所以圆心到直线和距离皆为,即,故答案为:B.【分析】由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且圆心到直线和距离皆为,即,由此求得 的值.10【答案】B【解析】【解答】如图,以 D 为原点,DC,DP,DA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系则,设平面 PAB 的一个法向量为,则由,令,得,故,则点 C 到平面 PAB 的距离为,故答案为:B.【分析】以 D 为原点,DC,DP,DA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,求得平面 PAB 的一个法向量,根据空间距离的向量求法,即可求出点 C 到平面 PAB 的距离.11【答案】B【解析】【解答】由图形可知,总为锐角以 C 为原点,CA,CB,所在直线分别为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,不妨取,则,则,由可知,则,由,得,解得或又知,所以故答案为:B【分析】由题意,以 C 为原点,CA,CB,所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,由,不妨取,求 C,B1,A,B 出点的坐标,又 为锐角三角形,利用向量的夹角为锐角,求出 m 的取值范围.12【答案】D【解析】【解答】化为标准方程:,点是圆上一点,不妨设(t 为参数),则其中当时,可取得最小值 30此时故答案为:D【分析】利用圆的参数方程表示出 并求最值,利用三角函数求出 的值.13【答案】3【解析】【解答】由题意得,所以,即,故答案为:3【分析】根据条件求出 的坐标,由 列出等式,求解可得实数的值.14【答案】3x-y+7=0【解析】【解答】由题意可知:直线 l 与直线平行,直线 l 的斜率为 3,所以直线 l 方程为,即 3x-y+7=0。故答案为:3x-y+7=0。【分析】利用过的直线 l 与直线没有公共点,得出过的直线 l 与直线没有公共点,再利用两直线平行斜率相等,进而得出所求直线的斜率,再利用点斜式求出直线 l 的方程。15【答案】【解析】【解答】两圆方程相减可得公共弦直线方程 为,圆的圆心为,半径为,圆心到 的距离为,公共弦长为.故答案为:.【分析】先把两个圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程,再利用点到直线的距离公式,弦长公式,求得公共弦的长.16【答案】【解析】【解答】SA面 ABCD,BAD90,故可建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.AB4,SA3,B(0,4,0),S(0,0,3)设 BCm,则 C(m,4,0),F.同理,E,要使AFE90,则,又,169,.【分析】建立空间直角坐标系 Axyz,设 BC=m,求出所需点的坐标,利用,则,求出点 F 的坐标,同理求出点 E 的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示,由,列式求解出实数 的值.17【答案】解:设,则,【解析】【分析】设,由直线 CDAB,且 CBAD 可得,求解出 x,y,即可求得点 D 的坐标.18【答案】(1)解:(2,3,1),(1,0,3),(0,1,2),(2,3,0),()2(2)+3(3)+(1)013;(2)解:设(x,y,z),|,解得:或,(3,2,1)或(3,2,1)【解析】【分析】(1)根据空间向量运算性质进行计算即可求得 的值;(2)设(x,y,z),根据,|,列方程组,求解可得 的坐标19【答案】(1)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 ,则 ,依题意 ,所以圆 的方程为 .(2)由(1)知,圆心到直线 距离为 ,又圆 上恰有两个点到直线 的距离是 1,所以 ,即 ,所以 ,即圆 的半径的取值范围是 .【解析】【分析】(1)根据题意由直线与圆的位置关系,结合点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离公式,由此计算出圆的半径,从而得出圆的方程。(2)由(1)的结论,结合圆心到直线的距离,由圆的几何意义即可得到,从而得出半径的取值范围。20【答案】(1)解:由题意知,AB、AC、两两垂直,分别以、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系,则,故直线 AE 与所成角为(2)解:由(1)可得:,AF、平面 ABF,平面 ABF【解析】【分析】(1)以、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 AE 与所成角的大小;(2)利用向量法求出,从而判断出直线与平面 ABF 垂直21【答案】(1)解:将圆 C 化为标准方程,则圆心,圆 C 的半径为,因为,所以的最大值为,最小值为(2)解:因为点 C 到直线 l 的距离为,所以因为点到直线 l 的距离为,所以当时,当时,当时,【解析】【分析】(1)根据圆方程求得|OC|,圆 C 的半径,进而可求得 的最大值与最小值;(2)求出 a,表示出 b,进而比较 a 与 b 的大小22【答案】(1)解:如图,以为原点,BA,BC,BP 所在直线分别为,轴,建立空间直角坐标系.易知是等腰直角三角形,.设,则,.则,异面直线和所成角等于,即,解得,.设平面的一个法向量为,则由,得,所以可取,.直线和平面所成角的正弦值为.(2)解:假设存在,设,且,则,设平面 DEB 的一个法向量为,则由,得,取,又有平面 PAB 的法向量,由平面 PAB 与平面 BDE 所成锐二面角的正切值为,可知余弦值为,由,得,解得或(不合题意).存在这样的 E 点,E 为棱 PA 上靠近的三等分点.【解析】【分析】(1)以为原点,BA,BC,BP 所在直线分别为,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线和平面所成角的正弦值;(2)求出平面 DEB 的一个法向量和平面 PAB 的法向量,利用向量法能求出在棱 PA 上存在一点 E,使得平面PAB 与平面 BDE 所成锐二面角的正切值为 ,E 为棱 PA 上靠近 A 的三等分点.
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