1 随机过程习题解答 第一章习题解答 1． 设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数，EX及DX。其中是已知参数。 解 = 又 （其中 ） 令 则 同理 令 则 ） 2、（1） 求参数为的分布的特征函数，其概率密度函数为 （2） 其期望和方差； （3） 证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。 解 （1）设X服从分布，则 （2） （4） 若 则 同理可得： 3、设X是一随机变量，是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1） （2） 解 （1） （） 在区间[0，1]上服从均匀分布 的特征函数为 （2） = = 4、设相互独立，且有相同的几何分布，试求的分布。 解 = = = = 5、 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量 的分布。 证 （1） 为连续函数 = = = = 非负定 （2） = = （） 6、证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 解 （1） = （） 且连续 为特征函数 （2） = = = 7、设相互独立同服从正态分布，试求n 维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的率密度函数。 解 又 的特征函数为： 均值向量为 协方差矩阵为 又 8、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为及分布；（2）分别服从参数为。求X+Y的分布。 解（1） = = = = 则 （2） 9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为 求其特征函数。 解　　 　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　 ＝ 　　　　　　　　　＝ 10、已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为 　　　　　解　 　　　　　　　　又 　　　　　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　其中　　　　　 　　　 11、设相互独立，且都服从，试求随机变量组成的随机向量的特征函数。 　　　　解　 　　　　　　　　　　　　 ＝ 　　　　　　　　 ＝ ＝ 12、设相互独立，都服正态分布，试求： （1） 随机向量的特征函数。 （2） 设，求随机向量的特征函数。 （3） 组成的随机向量的特征函数。 解（１） 　（２） 　　　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　　　＝ （３） 　　　　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　　　　＝ 13、设服从三维正态分布，其中协方差矩阵为，且试求。 解 　　　＝ 　　　又 　　　　 　同理可得　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　 14、设相互独立同服从分布。试求的期望。 解　　 　　令　　　　 则　　　　 　　 　　　　　 　　　　　　　 　　　　＝　 　　　　＝　　　　　 15、设X．Y相互独立同分布的随机变量，讨论的独立性。 解 有 或 则 又 服从指数分布，　服从柯西分布，且 对有 相互独立。 16、设X． Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论的独立性。 解（1） (2) (3) 对均成立 相互独立 17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求 （1） （2） 证 （1） = （2） 18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（1）X与X+Y的联合概率密度；（2） 解 令 则 （2） 19、设是一列随机变量，且，其中K 是正常数。试证： （1） 当。 （2） 当均方收敛于0； （3） 当 证 令 0 (当，) 几乎肯定 收敛于0 当 均方收敛于0 当时， 即 20、设 证 = 第二章习题解答 1.设是独立的随机变量列，且有相同的两点分布，令，试求： （1） 随机过程的一个样本函数； （2） 之值； （3） ； （4） 均值函数； （5） 协方差函数； 解： （1）当时，， （2） 　2　　　0　　　　-2 　　　　　　　　　　　　　　 当n 为奇数时 　 　　　 　　 　 　 当n为偶数时 　 　 　０　　　　 　　　 　　　 　 　　　　 　 （４） 　　　　而 　　　 　（５） 　　　　　　　　　　　　 　　　 若 即有 2.设，其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量，是常数，，试求： （1）X（t）的一个样本函数； （2）X（t）的一维概率密度函数； （3）均值函数和协方差函数。 解：（1）当A=B=1时， （2） ～ （3） 3.设随机过程。其中是相互独立的随机变量，且～。 （1）求{X(t)}的均值函数和相关函数； （2）证明{X(t)}是正态过程。 解：（1） （2） 其中， 由n维正态分布的线性性质得 ～ 因此X(t)是正态过程。 4.设是参数为的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数： （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客流，证明是强度为的Poisson流。 证：令表示“第个顾客购买商品”，则且。其中为时间段内到达商店的顾客人数，则的特征函数为 是强度为的Poisson流。 6.在题5中，进一步设是不购买商品的顾客流，试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。 证：（1） 与独立且强度为的Poisson流。 7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明： （1）是强度为的Poisson流； （2）在的任一到达时间间隔内，恰有k个时间发生的概率为 证：（1） 是强度为的Poisson流。 （2）令T表示过程任两质点到达的时间间隔。A表示恰有1个事件发生在的任一到达时间间隔内，则 8.设是Poisson过程，和分别是的第n个事件的到达时间和点间间隔。试证明： （1）； （2）。 证： 9.设某电报局接收的电报数组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。 解： 10.设和分别是强度为和的独立Poisson过程，令，求的均值函数与相关函数。 解： 11.设是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随机变量，且与独立，求内事件数N的分布律。 解：由内N的分布律为： 第三章习题解答 1．证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。 证：令是Poisson随机变量序列，则对 又，其中X为Poisson随机变量。 2．设，是独立同分布的随机变量序列，均值为，方差为1，定义，证明。 证： 。 3．研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。 （1），其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为； （2），其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为； （3）是Poisson过程； （4）是Wiener过程。 解：（1） 是关于s, t的多项式函数 存在任意阶的偏导数 过程是均方连续，均方可导，均方可积。 (2) （3）由知Poisson过程是均方连续，均方可积的。 不存在，即均方不可导。 （4）由知Wiener过程是均方连续，均方可积的。 不存在，即均方不可导。 4．试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。 解：（1）均方可导 又 均方可微。 （2）均方可导，且 （3）Poisson过程均方不可导。 （4）Wiener过程均方不可导。 5．求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。 （1），其中是常数，服从上的均匀分布； （2），其中参数为1的Wiener过程； （3），其中参数为的Wiener过程。 解：（1）。 （2） 当， 均方连续，但均方不可微，均方可积。 （3） 均方连续，但均方不可微，均方可积。 6．均值函数为、相关函数为的随机过程输入微分电路，该电路输出随机过程，试求的均值函数和相关函数、和的互相关函数。 解： 7．试