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陕西师大附中渭北中学高2023届高三第一学期期初检测 数学(文科)试题 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数z满足,则( ) A.2 B.3 C. D. 3.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的,是中国古代一项伟大的、重要的发明,在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》,其中有云:“珠算控带四时,经纬三才.”北周甄鸾为此作注,大意是:把木板刻为部分,上、下两部分是停游珠用的,中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、,上面一粒珠(简称上珠)代表,下面一粒珠(简称下珠)是,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠,往上拨粒下珠,算盘表示的数为质数(除了和本身没有其它的约数)的概率是( ) A. B. C. D. 4.已知空间中的两个不同的平面,直线平面,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.如图,角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O分别交于A,B两点,则( ) A. B. C. D. 6.下列四个函数:①;②;③;④,其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.在中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c.若的面积为,则( ) A. B. C. D. 8.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.根据祖暅原理,对于D打印制造的零件,如果能找到另一个与其高相等,并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体,就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3D打印技术制造一个高为2的零件,该零件的水平截面面积为S,随高度h的变化而变化,变化的关系式为,则该零件的体积为( ) A. B. C. D. 9.若,则( ) A.图像关于直线对称 B.图像关于点对称 C.最小正周期为 D.在上单调递增 10.已知定义在R上的偶函数在区间上递减.若,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 11.函数的部分图象如图所示,为了得到的图象,只需将函数的图象( ) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 12.如图,已知椭圆和双曲线在x轴上具有相同的焦点,设椭圆与双曲线的上半部分交于A,B两点,线段与双曲线交于点C.若,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.近几年来移动支付越来越普遍,不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同.某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度,要对15-75岁的人群进行随机抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,则最合适的抽样方法是__________. 14.已知向量满足,且,则__________. 15.已知关于x的不等式的解集为,则的取值范围为__________. 16.设函数, ①若,则的最小值为__________; ②若恰有2个零点,则实数a的取值范围是__________. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题考生根据要求作答. 17.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)求角B的大小; (2)若点D为的中点,且,求的值. 18.为了推进分级诊疗,实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式,某城市自2021年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万,从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况,现调查了1000名年满18周岁的居民,各年龄段被访者签约率如图2所示. (1)估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数; (2)据统计,该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上,应着重提高图2中哪个年龄段的签约率?并根据已有数据陈述理由. 19.如图,在四棱锥中,底面为菱形,其中,点M在线段上,且,N为的中点. (1)求证:平面; (2)若平面平面,求三棱锥的体积. 20.已知函数. (1)定义的导函数为,的导函数为……以此类推,若,求实数a的值; (2)若,证明:. 21.已知抛物线,O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,,. (1)求抛物线C的标准方程; (2)设点在C上,过Q作两条互相垂直的直线,分别交C于A,B两点(异于Q点). 证明:直线恒过定点. 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22.【选修4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系中,曲线M的参数方程为(为参数,),直线的参数方程为(t为参数,),直线,垂足为O.以O为坐标原点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)分别求出曲线M与直线的极坐标方程; (2)设直线分别与曲线M交于A、C与B、D,顺次连接A、B、C、D四个点构成四边形,求. 23.【选修4-5:不等式选讲】 已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若,使得不等式成立,求实数a的取值范围. 陕西师大附中渭北中学高2023届高三第一学期期初检测 数学(文科)答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B A C A C B B B C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.分层抽样 14. 15. 16.①;② 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23为选考题.考生根据要求作答) 17.【本题满分12分】 解:(1)∵. ∴由正弦定理可得,. ∴. 又∵,即. ∴. 又∵. ∴. (2)∵在中,由余弦定理可得. 在中,由余弦定理可得. ∴,即. ∴在中,由正弦定理可得. 18.【本题满分12分】 (1)由图1知,该城市年龄在50-60岁,60-70岁,70-80岁,80岁以上的居民人数分别为:万,万,万, 万. 由图2知,该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数: 万. (2)由图1,图2可得: 年龄在10-20岁的人数为:万 年龄在20-30岁的人数为:万 所以,年龄在18-30岁的人数大于180万,小于230万,签约率为30.3%. 年龄在30-50岁的人数为:万,签约率为37.1%. 年龄在50岁以上的人数为:万,签约率超过55%,上升空间不大 由以上数据可知这个城市在3050岁这个年龄段的人数为370万,基数较其他年龄段是最大的,且签约率为37.1%,非常低,所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上,应着重提高30-50这个年龄段的签约率. 19.【本题满分12分】 解:(1)∵,N为的中点,∴, ∵底面为菱形,, ∴,∴,则, ∵,∴平面. (2)∵,∴,∵平面平面,平面平面,∴平面平面,∴, ∴, ∵平面,∴平面, ∵,∴. 20.【本题满分12分】 解:(1)由题意得:, , ∴的周期为4, 故.∵,∴. (2)证明:当时,. 令,则, ∴在区间上递增,∴,∴. ∴,当且仅当时取等号. 令,则,当时,;当时,. ∴在区间上递增,在区间上递减. ∴,当且仅当时取等号.∴. 21.【本题满分12分】 解:(1)由,可得, 代入.解得或(舍),从而. (2)由题意可得,直线的斜率不为0,设直线的方程为, 设,由,得,从而, 且.又, , ∵,∴, 故, 整理得.即, 从而或,即或. 若,则,过定点,与Q点重合,不符合; 若,则,过定点. 综上,直线过异于Q点的定点. 【选做题】请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22.【本题满分10分】 解:(1)由M的参数方程,可得,则,即, ∴曲线M的极坐标方程为:. 由题设知:的方程为为,故的极坐标方程为,又, ∴为且. (2)由题设知:, 若, 联立与M:,可得, 联立与,可得, ∴. ∴. 23.【本题满分10分】 解:(1)当时,. 当时,,解得,此时; 当时,,解得,此时; 当时,,解得,此时. 因此,当时,不等式的解集为; (2)当时,可化为, 所以,或, 即存在,使得或. ,因为,所以,则, ,因为,所以,所以, 因此,实数a的取值范围为.
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