高二上学期高二上学期数数学期中考学期中考试试试试卷卷
一、一、单选题单选题
1.已知直线 过点,两点,则直线 的斜率为()
A.B.C.D.
2.抛物线的准线方程为()
A.B.
3.已知圆的一条直径的端点分别是
C.D.
,,则该圆的方程为()
A.B.
C.D.
4.已知椭圆的一个焦点坐标为,则 的值为()
A.1B.3C.9D.81
5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍,则其顶点到渐近线的距离为()
A.B.C.D.
6.过点作与圆相切的直线 l,则直线 l 的方程为()
A.B.
C.或D.或
7.已知直线和直线都过点,则过点和点的直线
方程是()
A.B.
C.D.
8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登ft望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣
的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从ft脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎
样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从ft脚下的点
处出发,河岸线所在直线的方程为
A.B.5
二、多二、多选题选题
9.下列说法错误的是()
,则“将军饮马”的最短总路程为()
C.D.
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B.点关于直线的对称点为
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
D.经过点且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为
10.已知双曲线 C 的方程为,则下列说法正确的是()
A.双曲线 C 的渐近线方程为
B.双曲线 C 的实轴长为 8
C.双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3
D.双曲线 C 上的点到焦点的距离的最小值为
11.已知点 P 是直线上的动点,定点
A.线段 PQ 的长度的最小值为
,则下列说法正确的是()
B.当 PQ 最短时,直线 PQ 的方程是
C.当 PQ 最短时 P 的坐标为
D.线段 PQ 的长度可能是
12.已知的两个顶点
的坐标分别是 且斜率之差等于
,则正确的是(
A.当时,点的轨迹是双曲线.
,且所在直线的斜率之积等于
)
B.当时,点在圆上运动.
C.当时,点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.
D.无论 n 如何变化,点的运动轨迹是轴对称图形.
三、填空三、填空题题
13.两条平行直线和之间的距离是 .
14.已知圆的圆心为为坐标原点,则以为直径的圆的标准方程
为 .
15.若圆:
为.
与圆:()相交,则正数 的取值范围
16.在直角平面坐标系中,分别是双曲线的左、右焦点,过点作圆
的切线,与双曲线左、右两支分别交于点,若,则 的值是 .
四、解答四、解答题题
17.已知两条直线,;求为何值时, 与
(1)平行;
(2)垂直.
18.在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
①与直线垂直;②过点;③与直线
问题:已知直线 过点,且.
1求直线 的一般式方程;
2若直线 与圆相交于点,,求弦的长.
19.在平面直角坐标系中,已知三个顶点坐标分别为,
三个点的圆记为.
1求边的中线所在直线的一般式方程;
2求圆的一般方程.
平行.
,,经过这
20.已知椭圆的中心在原点,离心率为,焦点在 轴上且长轴长为 10.过双曲线
的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点.
(2)若双曲线
(1)求椭圆的标准方程;
与椭圆有公共的焦点,且以
为直径的圆恰好过双曲线的左顶点,求双曲线
的标准方程.
21.直线与双曲线相较于,两点.
(1)若,求线段长;
(2)当 为何值时,以
22.已知抛物线
为直径的圆经过坐标原点?
与直线相交于两点,线段中点的横坐标为 5,且
抛物线的焦点到直线 的距离为.
(1)求,的值;
(2)已知点为抛物线上一动点,点为 轴上一点,求线段长最小值.
答案解析部答案解析部分分
1. 【答案】A
【解析】【解答】设直线 的斜率为 ,则.
故答案为:A
【分析】由直线斜率的坐标公式,即可求解.
2. 【答案】C
【解析】【解答】抛物线的方程可变为
故
其准线方程为
故答案为:C
【分析】先将抛物线方程化为标准形式,再根据抛物线的性质求出其准线方程.
3. 【答案】B
【解析】【解答】解:由题意可知,,的中点为,
又圆的半径为,
故圆的方程为.
故答案为:B.
【分析】利用中点坐标公式求出圆心,由两点间距离公式求出半径,即可得到圆的方程.
4. 【答案】A
【解析】【解答】由椭圆的一个焦点坐标为,则半焦距 c=2,
于是得,解得,
所以 的值为 1.
故答案为:A
【分析】根据条件,利用椭圆标准方程中长半轴长 a,短半轴长 b,半焦距 c 的关系列式计算即得.
5. 【答案】B
【解析】【解答】由双曲线的方程得,
双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍,,可得,
则双曲线的顶点为,双曲线的渐近线方程为,
不妨取渐近线,即,
则顶点到渐近线的距离.
故答案为:B.
【分析】根据条件求出,,求出顶点坐标和渐近线方程,结合点到直线的距离公式进行求解即
可.
6. 【答案】C
【解析】【解答】圆即为,圆心是,
,直线与圆相切,当直线斜率不存在时,直线方程为,而
当直线斜率存在时,设直线方程为,
圆心到直线的距离为;,解得,
所以直线 l 的方程为,
综上:直线 l 的方程为或,
故答案为:C
【分析】首先把圆的方程化为标准式,由此求出圆心坐标以及半径的值,再对斜率分情况讨论,由此设出直
线的方程,然后结合点到直线的距离公式代入数值计算出 k 的取值,从而即可得出直线的方程。
7. 【答案】A
【解析】【解答】因为直线
可得且
即点和点
所以过点和点
故答案为:A.
和直线都过点,
,
适合直线,
的直线方程是.
【分析】把点分别代入两直线方程,得到且,根据两个式子,即可求得所
求的直线方程.
8. 【答案】D
【解析】【解答】由关于的对称点为,
所以,可得,即对称点为,又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为:D
【分析】设关于的对称点为,列方程求对称点坐标,再应用两点距离公式求“将军饮
马”的最短总路程.
9. 【答案】A,D
【解析】【解答】A:垂直于 x 轴的直线不存在斜率,错误;
B:由、中点为且,两点所在直线的斜率为,故与垂直,正确;
C:令有,令有,所以围成的三角形的面积是
且在 x 轴和 y 轴上截距都为 0,错误.
,正确;
D:由也过
故答案为:AD
【分析】A 注意垂直于 x 轴的直线;B 由对称点所在直线的斜率与斜率关系,及其中点在对称直线上
判断正误;C 求直线与数轴交点即可求面积;D 注意直线也符合要求即可判断.
10.【答案】A,B,C
【解析】【解答】由双曲线 C 的方程为,得:,
,
对于 A:双曲线 C 的渐近线方程为,A 符合题意;
对于 B:双曲线 C 的实轴长为,B 符合题意;
对于 C:取焦点,则焦点到渐近线的距离,C 符合题意;
对于 D:双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为,D 不符合题意;
故答案为:ABC.
【分析】由双曲线方程求出,根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双
曲线上的点到焦点距离最小值,然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离,即可求解.
11. 【答案】A,C
【解析】【解答】解:当 PQ 垂直直线时,PQ 最短,
Q 到直线的距离为,A 符合题意;
故 PQ 的长度范围为,,D 不符合题意;
设,则,解得,
故 P 为,C 符合题意;
此时直线 PQ 的方程是,即,B 不符合题意,
故答案为:AC.
【分析】当 PQ 垂直直线时,PQ 最短,即可判断 A、D,设出 P 坐标,根据最短使 PQ 与直线
垂直求解 P 坐标,即可判断 C,由两点式求出直线方程,即可判断 B.
12. 【答案】B,D
【解析】【解答】解:设,则,
所以,,
整理得,
所以对于 A 选项,时,点的轨迹是去除了两个点的双曲线上,A 选项错误;
,故在圆上运动,B 选项正
对于 B 选项,当时,点的轨迹为圆
确;
对于 C 选项,当时,点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆,离心率为
,故当时,椭圆的离心率随着的增大而减小,C 选项错误;
对于 D 选项,由于,点的运动轨迹
在,故曲线
,对任意的点与均
关于轴对称,点的运动轨迹为
,可能为椭圆,双曲线,圆,但均为轴对称图形,D 选项正确.
故答案为:BD
【分析】设,进而根据题意得,,进而依次讨论
各选项即可得答案.
13. 【答案】
【解析】【解答】,
,
所以它们之间的距离为:.
故答案为:.
【分析】利用两平行直线之间的距离公式即可计算.
14. 【答案】
【解析】【解答】圆心 C 的坐标为
所以以为直径的圆的方程为
故答案为:
,则的中点坐标为,半径,
.
【分析】求出圆心的坐标和半径,即可得出圆的方程.
15.【答案】(4,6)
【解析】【解答】∵两圆和()相交,
圆:的半径和圆心分别是 1,,
圆:()的半径和圆心分别是 ,
∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差,小于两个圆的半径之和,
即.
∴,
∴,
∴正数 的取值范围是(4,6).
,
故答案为: (4,6).
【分析】由圆心距离小于半径之和,大于半径之差的绝对值可得.
16. 【答案】
【解析】【解答】由题设,,又,则,
在△中,则,即,
又直线与相切,则,
综上,,解得,而,则,
所以,可得.
故答案为:.
【分析】根据双曲线的定义可得,在△中应用余弦定理可得,注意其符
号判断 c 的范围,再根据直线与圆相切可得,构造方程求参数 c,进而求 b.
1 7.【答案】(1)解:因为
解得或,
当时,直线 的方程为
当时,直线 的方程为
综上所述,;
(2)解:因为,则
,可得,即,
,直线 的方程为
,直线 的方程为
,两直线重合,不合题意,舍去.
,两直线平行,合乎题意.
,解得.
【解析】【分析】 (1)根据两直线平行可得出关于实数的等式,求出的值,并代入两直线方程检验即可得
解;
(2)根据两直线垂直可得出关于实数的等式,即可解出的值.
1 8.【答案】(1)解:方案一选条件①.
因为直线的斜率为,又直线与直线 垂直,
所以直线 的斜率为,
依题意,直线 的方程为,即.
方案二选条件②.
因为直线 过点及,
所以直线 的方程为,即.
方案三选条件③.
因为直线的斜率为,直线 与直线平行,
所以直线 的斜率为
依题意,直线 的方程为,即.
(2)解:方案一选条件①.
圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为
方案二选条件②.
,所以.
圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为
方案三选条件③.
,所以.
圆的圆心到直线的距离为.
又圆的半径为
【解析】【分析】 (1)求出直线
,所以.
的斜率,可求得直线 的斜率,利用点斜式可求得直线
的方程即可;
(2)选①:求出圆心到直线 的距离,利用勾股定理可求得弦长;
选②: 因为直线 过点及求出直线方程,再求出圆心到直线 的距离,利用勾股定理可求得
弦长;
选③:由已知条件求出直线 的方程,求出圆心到直线 的距离,利用勾股定理可求得弦长.
19. 【答案】(1)解:在平面直角坐标系中,已知
,设的中点为
所以,,则
三个顶点坐标分别为,,
所以直线的斜率,
则直线的方程为:,整理成一般式为:
(2)解:已知三个顶点坐标分别为,,,经过这三个点的圆记为
,
设圆的方程为:,
则:
解得:,
所以圆的方程为.
【解析】【分析】 (1)在平面直角坐标系中,已知三个顶点坐标分别为,,
,设的中点为,再利用中点坐标公式得出中点 D 的坐标,再结合两点求斜率公式
得出直线的斜率,再结合点斜式求出直线的方程,再转化为直线的一般式方程。
(2)利用三角形三个顶点坐标分别为,,,经过这三个点的圆记
为,设圆的方程为:,再利用代入法,从而解方程组求出 D,E,F 的值,
进而求出圆 M 的一般式方程。
20. 【答案】(1)解:设椭圆的标准方程为,
根据题意得,则.
又,
∴椭圆的标准方程为.
(2)解:设双曲线的右焦点,将代入双曲线方程,得.
∵以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点,且,
,即,
整理得,即有.
又.
又双曲线与椭圆有公共的焦点,,
∴双曲线的标准方程为.
【解析】【分析】 (1)设椭圆的标准方程为,根据椭圆的几何性质列出方程即可求
出各个系数,从而得出椭圆的标准方程;
,将代入双曲线方程求得
(2)设双曲线的右焦点,又以为直径的圆恰好过双曲线的左
顶点,且,从而建立等式求出离心率,最后即得双曲线的标准方程.
2 1.【答案】(1)解:由题设,联立双曲线并整理得:,
所以,则,,
所以.
(2)解:联立直线与双曲线得:,整理有
由题意,,即
,
,
所以,,则,
若为直径的圆经过坐标原点,则,即,
所以,满足要求.
【解析】【分析】 (1)联立直线与双曲线可得,应用韦达定理及弦长公式即可求线段长;
(2)联立直线与双曲线可得,注意由判别式求 a 的范围,应用韦达定理得
, 再由为直径的圆经过坐标原点,推出,即可求出参数 a.
, 则
22. 【答案】(1)解:由题设,抛物线焦点为,则,
联立直线与抛物线可得:,则,
综上,,可得或,又,
所以.
(2)解:由(1)知:,设,
所以,又,
要使线段长最小,即
,即时
,即时,则
最小即可,
当,则时最小值为;
当
若,则,则
,则,则
时线段长最小值为
时最小值为;
最小值为;
时线段长最小值为
若时
综上,;;
【解析】【分析】 (1)由点线距离公式及中点坐标公式有,结合已知求出;
(2)设,利用两点距离公式有,根据二次函数的性质及抛物
线的有界性,讨论、求对应线段长最小值.