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8.4 直线、平面垂直的判定和性质
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考点考点 直线、平面垂直的判定和性质直线、平面垂直的判定和性质
考点考点清单清单
考向基础考向基础
一、线面、面面垂直的判定
1.直线与平面垂直
(1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直
线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直.
(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这
条直线垂直于这个平面;用数学符号表示为:已知m⊂α,n⊂α,m∩n=B,l⊥m,l
⊥n,则l⊥α.
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2.点到平面的距离、线到面的距离
(1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点
到这个平面的距离.
(2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,
叫做这条直线和这个平面的距离.
3.斜线在平面内的射影
(1)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足与斜足的直线叫做斜线
在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段在
这个平面内的射影.
(2)斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
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4.垂线段和斜线段长定理
在空间内,从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(1)垂线段
最短;(2)射影相等的两条斜线段相等,两条斜线段相等,它们的射影也相等;
(3)射影较长的斜线段也较长,较长的斜线段的射影也较长.这就是垂线段
和斜线段长定理,应当注意:定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同
一点引出的,缺少这个条件,结论不成立.
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5.平面与平面垂直
(1)定义:一般地,平面α和β相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这
两个平面互相垂直.记作α⊥β.
(2)判定定理:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂
直.符号表示为 ⇒β⊥α.
二、线面、面面垂直的性质
1.直线与平面垂直的性质定理
同垂直于一个平面的两直线平行.
2.直线与平面所成的角(设为θ)
(1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影
所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和平
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面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0°的角.
(3)最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线
所成的一切角中最小的角.
3.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表
示为 ⇒a⊥β.
直线l和平面α
的位置关系
l⊂α
或l∥α
l⊥α
l和α斜交
θ的取值或范围
θ=0
θ=
θ∈
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4.二面角的概念及计算
(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做
二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
棱为AB,面分别为α、β的二面角记作二面角α-AB-β,如果棱为l,那么这个二
面角记作α-l-β.
(2)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作
垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平
面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这
个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
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考向突破考向突破
考向考向 空间垂直关系的判定空间垂直关系的判定
例例1 (2019浙江高考模拟试卷(三),5)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,现
给出以下四个命题:
①l∥β⇒l∥m;②α∥β⇒l⊥m;
③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒l⊥β.
其中,是正确命题的是 ( )
A.①②③④ B.①③
C.②④ D.②③
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解析解析 考虑正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,BC⊂平面BCC1B1,
AA1∥平面BCC1B1,但AA1⊥BC,所以①错;AA1⊥平面ABCD,BC⊂平面BCC1
B1,AA1⊥BC,但AA1∥平面BCC1B1,所以④错;对于②,因为l⊥α,α∥β,所以l⊥
β,又m⊂β,所以l⊥m,所以②正确;对于③,因为l⊥α,l∥m,所以m⊥α,又m⊂β,
所以α⊥β,所以③正确.故选D.
答案答案 D
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例例2 (2019浙江名校协作体联考,19)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC和△
ABC均为等腰三角形,且∠APC=∠BAC=90°,PB=AB=4.
(1)判断AB⊥PC是否成立,并给出证明;
(2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值.
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解析 解析 (1)AB⊥PC不成立.证明如下:
假设AB⊥PC,因为AB⊥AC,且PC∩AC=C,
所以AB⊥平面PAC,
所以AB⊥PA,这与已知PB=AB=4矛盾,
所以AB⊥PC不成立.
(2)解法一:取AC的中点O,BC的中点G,连接PO,OG,PG,
由已知得PO=OG=PG=2,
AC⊥PO,AC⊥OG,且PO∩OG=O,
所以AC⊥平面POG,又AC⊂平面ABC,
所以平面ABC⊥平面POG,
取OG的中点H,连接BH,
则PH⊥平面ABC,
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所以∠PBH就是直线PB与平面ABC所成的角,
因为PH= ,PB=4,所以sin∠PBH= = ,即直线PB与平面ACB所成角的
正弦值为 .
解法二:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),
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设P(x,y,z),由 即
解得 所以P(1,2, ),
则 =(3,-2,- ),
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易知平面ABC的一个法向量是n=(0,0,1),
设直线PB与平面ABC所成角的大小为θ,
所以sin θ= = ,即直线PB与平面ABC所成角的正弦值为 .
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线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法方法1
方法技巧方法技巧
1.线面垂直的定义.
2.线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a⊥α).
3.平行线垂直平面的传递性(a∥b,b⊥α⇒a⊥α).
4.面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α).
5.面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β).
6.面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).
7.向量法:证明直线的方向向量为平面的法向量.
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例例1 (2019浙江三校联考,19)如图,已知四棱锥A-BCDE中,AB=BC=2,
∠ABC=120°,AE=2 ,CD∥BE,BE=2CD=4,∠EBC=60°.
(1)求证:EC⊥平面ABC;
(2)求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.
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解题导引解题导引
(1)
(2)
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解析解析 (1)证明:在△ABC中,由余弦定理得AC=2 ,
在△EBC中,由余弦定理得EC=2 .
由CE2+CA2=EA2,CE2+CB2=EB2得EC⊥CA,EC⊥CB,
又CA∩CB=C,
所以EC⊥平面ABC. (7分)
(2)如图,建立空间直角坐标系C-xyz,
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则C(0,0,0),E(0,0,2 ),A(2 ,0,0),B( ,1,0),
所以 =(- ,1,0), =(-2 ,0,2 ), =(- ,-1,2 ), = =
.
所以D ,所以 = . (11分)
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则
从而
令x=1,则n=(1, ,1). (13分)
记直线AD与平面ABE所成的角为α,
则sin α= = . (15分)
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方法2 面面垂直的判定方法面面垂直的判定方法
1.面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算其平面角为90
°).
2.面面垂直的判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.
3.向量法:证明两个平面的法向量垂直.
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例例2 (2019浙江名校新高考研究联盟联考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,
PA⊥平面ABCD,AB∥CD,CD=4,PA=AB=BC=AD=2,Q为棱PC上的一点,且
PQ= PC.
(1)证明:平面QBD⊥平面ABCD;
(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值.
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(1)
(2)
解题导引解题导引
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解析解析 (1)证明:连接AC与BD交于点O,连接OQ,
则由△ABO∽△CDO,AB=2,CD=4,得AO= AC,
因为PQ= PC,所以QO∥PA,又PA⊥平面ABCD,
所以QO⊥平面ABCD. (4分)
又QO⊂平面QBD,所以平面QBD⊥平面ABCD. (7分)
(2)过点D作平面PBC的垂线,垂足为H,则∠DQH即为所求的线面角θ,
设DH=h,由VQ-BCD=VD-BCQ,
即 S△BCD·QO= S△BCQ·h,
得 ×2 × = × ×h, (9分)
解得h= , (11分)
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因为QD2=QO2+OD2,所以QD= , (13分)
所以sin θ= = . (15分)