平稳时间序列分析9.1 时间序列的概念时间序列的概念9.2 时间序列模型时间序列模型 9.2.1 白噪声序列 9.2.2 自回归模型 9.2.3 移动平均模型 9.2.4 自回归模型转化为移动平均模型9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数 9.3.1 自回归模型的平稳性 9.3.2 自回归模型的自相关函数平稳时间序列分析9.4 自回归模型定阶和估计自回归模型定阶和估计 9.4.1 自回归模型定阶 9.4.2 自回归模型估计 9.4.3 自回归模型再定阶信息准则9.5 自回归分布滞后模型自回归分布滞后模型 9.5.1 自回归分布滞后模型 9.5.2 格兰杰因果关系检验9.6 ARCH模型模型 9.6.1 ARCH模型的定义 9.6.2 ARCH模型估计重要概念重要概念9.1 时间序列的概念时间序列的概念设时点 处的观测为随机变量 ，这些随机变量形成一个时间序列，记为 或者 ，的一组具体取值称为时间序列的实现值（realization）。自相关函数（ACF:AutoCorrelation function）9.1 时间序列的概念时间序列的概念定义1（平稳性）：如果时间序列 的数学期望、方差和协方差不随时间变化，即 称 为宽平稳（wide-sense stationary）时间序列。宽平稳也称为协方差平稳或者二阶矩平稳。9.1 时间序列的概念时间序列的概念严平稳：时间序列中任意一组随机变量的联合分布不随时间发生变化，即对任意一组时间点 和时间间隔 ，的联合分布与 的联合分布相同，称 严平稳。二阶矩存在的严平稳时间序列一定宽平稳，宽平稳的时间序列不一定严平稳，本书只讨论宽平稳，将宽平稳时间序列简称为平稳时间序列。9.1 时间序列的概念时间序列的概念若 为平稳时间序列，则：（1）（2）满足大数定律，因此 分别是 、和 的一致估计。9.1 时间序列的概念时间序列的概念 表示 的 阶滞后，用滞后算符 表示为 例如 用滞后算符多项式表示为：9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.1 白噪声序列9.2.2 自回归模型9.2.3 移动平均模型9.2.4 自回归模型转化为移动平均模型9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.1 白噪声序列定义2（白噪声）：如果时间序列 满足：（1），（2）对任意 ，和 不相关，即 称 为白噪声序列，简称白噪声 (white noise)。是平稳时间序列的极端例子。9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.2 自回归模型一阶自回归模型AR(1)，为白噪声除了常数项以外，在 时刻的值由前定项（predetermined term）和与前期值不相关的新息（innovation）组成。阶自回归模型AR(k)9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.2 自回归模型 模型 ，150个样本的时序图：9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.3 移动平均模型对一阶自回归模型进行递推：当 时，9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.3 移动平均模型取有限项，上式即为 阶移动平均模型。9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.4 自回归模型转化为移动平均模型 由于 在上述一阶自回归模型两边同乘9.2 时间序列模型时间序列模型9.2.4 自回归模型转化为移动平均模型可以转化为移动平均模型的自回归模型称为可逆的（invertible）。从上面推导可以看出，一阶自回归模型可逆的条件是 。实际上，自回归模型的可逆条件，是滞后多项式的根在单位圆外。滞后多项式即：9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.1 自回归模型的平稳性9.3.2 自回归模型的自相关函数9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.1 自回归模型的平稳性 阶自回归模型：且 为白噪声序列 用滞后算子表达上式为：9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.1 自回归模型的平稳性u结论1：自回归模型平稳的充分必要条件为：滞后多项式的根都在单位圆之外，即方程 的根 满足 。其中 为实根时 表示绝对值，为虚根时 表示虚数的模。9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.1 自回归模型的平稳性滞后多项式的单位根均在单位圆内，则时间序列平稳；若有根为1，则不平稳，此时称存在单位根。把模型是否平稳的检验称为单位根检验。9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.1 自回归模型的平稳性例子9.1 为平稳时间序列 为非平稳时间序列 9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数 对 阶自回归模型：且 为白噪声序列 若 为平稳时间序列，则 两边取期望，得 代入原模型，整理可得零均值化的 阶自回归模型：9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数 重新将记为 ，即用 表示原模型中的 。此时，。后面的自回归模型都将采用这种零均值化后的模型。9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(1)模型的自相关函数 用 表示变量的方差 得出 表示 与 的协方差 9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(1)模型的自相关函数 同理，则AR(1)的自相关函数为 。9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数u结论2：AR(1)模型的自相关函数（ACF）为 平稳性要求 ，当 时，即自相关系数随时间间隔增加指数递减到0，但不等于0。这种现象称为自回归模型自相关函数的拖尾性。9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数例子9.29.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(2)模型的自相关函数 当 时9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(2)模型的自相关函数 由上式可解得 9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(2)模型的自相关函数u结论2：AR(2)模型的自相关函数（ACF）为 下面一行等式称为尤勒-沃尔克方程（Yule-Walker equations）。9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(2)模型的自相关函数例子 9.39.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(2)模型的偏自相关函数 称 为 阶自回归模型的偏自相关系数（PAC：Partial Auto-Correlation）9.3 自回归模型的平稳性和相关函数自回归模型的平稳性和相关函数9.3.2 自回归模型的自相关函数AR(2)模型的偏自相关函数 AR(k)模型的偏相关函数为u 阶数大于 时，偏自相关系数为0，这种现象称为AR模型偏相关函数的截尾性。u偏自相关系数 是剔除 对 的影响后，和 的相关系数。9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.1 自回归模型定阶9.4.2 自回归模型估计9.4.3 自回归模型再定阶信息准则9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.1 自回归模型定阶自回归模型的确立：确定阶数 估计 再次确定阶数的循环自相关函数用来确定采用自回归模型是否合适。如果自相关函数具有拖尾性，则AR模型为合适模型。偏自相关函数用来确定模型的阶数。如果从某个阶数之后，偏自相关函数的值都很接近0，则取相应的阶数作为模型阶数。9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.1 自回归模型定阶例子9.3 库存投资模型定阶 打开包含库存投资变量Invent的工作文件，在主菜单中点击Quick Series Statistics Correlogram9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.1 自回归模型定阶例子9.3 库存投资模型定阶 在出现的对话框中输入序列（变量）名称，点击OK按钮，弹出的对话框（Correlogram Specification）中有对原数据（level），一阶差分后的数据（1st difference），二阶差分后的数据（2nd difference）的选择，以及自回归包含多少滞后项（Lags to include）。9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.1 自回归模型定阶例子9.3 库存投资模型定阶 9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.1 自回归模型定阶例子9.3 库存投资模型定阶 点击OK后，将显示结果9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.1 自回归模型定阶例子9.3 库存投资模型定阶 看自相关（Autocorrelation），发现有拖尾性，故可以选择自回归模型，看偏自相关（Partial Correlation），发现有截尾现象：高于四阶的偏自相关均为0，故可以建立4阶自回归模型AR(4)。9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.2 自回归模型估计自回归模型估计最小二乘估计 AR(k)模型仍为线性模型，且误差项 满足基本第4章的假设1假设4，故得出的估计仍然就有一致性和马尔科夫性。当样本量较大时，采用滞后变量导致的回归样本减少对估计精度的影响不大。自回归模型估计极大似然估计 假设误差项服从正态分布，可以用极大似然估计。故自回归模型估计极大似然估计 对数似然函数为 其最大化得出的估计与最小二乘估计一致。自回归模型估计 EViews操作 第一种方法：点击主菜单的Quick Estimate Equation，若按一般线性回归模型进行设定，则输入 自回归模型估计 EViews操作 输出结果自回归模型估计EViews操作 若按自回归模型进行设定，则输入注意：估计AR(4)时要将AR(1)到AR(4)全部写出。自回归模型估计 EViews操作 输出结果自回归模型估计EViews操作 上述两种估计方法仅截距项的估计不一样，原因是前者采用普通最小二乘法，后者采用约束最小二乘法。在用EViews估计时间序列模型时，应采用第二种设定方法。自回归模型估计EViews操作 第二种方法：采用向量自回归VAR估计方法。点击主菜单的QuickEstimate VAR，点选VAR Type中的Unrestricted VAR，在Endogenous Variables栏中输入变量名invent，在Lag Intervals for Endogenous栏中输入1 2 3 4，在Exogenous Variables栏输入c：自回归模型估计EViews操作 自回归模型估计EViews操作 输出结果与普通最小二乘法一致自回归模型估计脉冲响应函数 脉冲响应是指 处新息 的变化对后续 的影响。平稳AR模型可以转换为无穷阶的移动平均模型，设转换后的MA模型为 的脉冲响应函数（IRF：impulse response function）定义为:自回归模型估计脉冲响应函数 例子9.3（续）库存投资模型脉冲响应 分析 首先用VAR估计法估计AR模型，在输出结果界面，点击ViewImpulse Response，弹出对话框自回归模型估计脉冲响应函数 例子9.3（续）库存投资模型脉冲响应 分析 点选Display Format下的Combined Graph，在Impulse和Response中均填入invent，在Periods（最大滞后期）中输入数字，点击确定输出结果如右：9.4自回归模型的定阶和估计自回归模型的定阶和估计9.4.3 自回归模型的再定阶信息准则 前面自回归模型的定阶是通过计算样本的自相关函数和偏自相关函数得出的，