2020-2021学年四川省广安市高二上学期第一次月考数学(理)试题
一、单选题
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
C
【分析】由直线得斜率,由斜率得倾斜角.
【详解】已知直线的斜率为,因此倾斜角为.
故选:C.
2.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
C
【分析】纵竖坐标不变,横坐标变为相反数.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为.
故选C.
本题考查空间直角坐标系,属于基础题.
3.总体编号为00、01、、18、19的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第7个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4035
8200
3623
4869
6938
7481
A.00 B.01 C.02 D.07
A
【分析】由随机数表产生随机数的方法依次得出前面的编号即可.
【详解】根据随机数表,所提编号依次为:,第7个为00,
故选:A.
4.用秦九韶算法计算多项式在的值时,其中的值为( ).
A.20 B.54 C.164 D.485
C
【分析】把所给多项式写成关于的一次函数的形式,依次写出,得出最后结果,从里到外进行运算,得到要求的值.
【详解】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当时的值:
;
;
;
;
.
故选:C.
本题考查秦九韶算法,解题关键是对多项式进行整理,得到符合条件的形式,可求得计算结果及加减运算的次数,属于基础题.
5.已知直线与互相平行,则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
B
【分析】由平行求出参数值,然后由平行线间距离公式计算.
【详解】由于两直线平行,所以,,
直线为,即,
所以它们间的距离为.
故选:B.
6.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前300年前,如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数),若输入的a,b分别为2020,520,则输出的
A.14 B.46 C.40 D.20
C
模拟程序框图的运行过程,该程序执行的是欧几里得辗转相除法,求出运算结果即可.
【详解】解:,,,N;
,,,N;
,,,N;
,,,N;
,,,Y.
输出,
故选:C
本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的答案,属于基础题.
7.计算机中常用16进制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号与10进制得对应关系如下表:
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如用16进制表示D+E=1B,则A×B=A.6E B.7C C.5F D.B0
A
【详解】显然A=10,B=11,所以A×B=110(10),用16进制表示A×B=6E.因而应选A.
8.过点作直线l,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线l有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
D
【分析】设直线的方程为,由直线过,得,再由三角形面积得,联立求出方程组的解即可得.
【详解】由题意设直线的方程为,直线过,则,
直线与坐标轴的交点为,
又,,
,,
时,,由, 得或,
时,,由, 得或,
所以直线共有4条.
故选:D.
9.已知点,直线:,则点P到直线l的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
C
【分析】由点到直线距离公式求出距离,然后求不等式的性质可得.
【详解】由已知点P到直线l的距离为,
时,,
时,,,所以,
综上,.
故选:C.
10.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是
A. B. C. D.
D
【详解】试题分析:由题意得方程,得或,且
,所以方程所表示的曲线为选项D,故选D.
曲线与方程.
11.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是( )
A. B. C. D.
B
因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案.
【详解】
可得:其圆心为
根据点到直线距离公式可得到距离为:
设与直线距离是.
根据平行线间距离公式可得:
解得:或
与直线距离是的直线有两条:和
又圆心到距离:
圆心到距离:
如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个.
圆与不相交,
如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个,
圆只能与相交,与相离
.
故选:B.
本题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位置关系解法,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
12.已知点A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0,1) B. C. D.
B
【分析】先求得直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),由0可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标,①若点M和点A重合,求得b;②若点M在点O和点A之间,求得b; ③若点M在点A的左侧,求得b>1.再把以上得到的三个b的范围取并集,可得结果.
【详解】由题意可得,三角形ABC的面积为 1,
由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),
由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,
故0,故点M在射线OA上.
设直线y=ax+b和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为.
①若点M和点A重合,如图:
则点N为线段BC的中点,故N,
把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b,求得a=b.
②若点M在点O和点A之间,如图:
此时b,点N在点B和点C之间,
由题意可得三角形NMB的面积等于,
即,即 ,可得a0,求得 b,
故有b.
③若点M在点A的左侧,
则b,由点M的横坐标1,求得b>a.
设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由 求得点P的坐标为,
此时,由题意可得,三角形CPN的面积等于,即 •(1﹣b)•|xN﹣xP|,
即(1﹣b)•||,化简可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.
由于此时 b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2 .
两边开方可得 (1﹣b)1,∴1﹣b,化简可得 b>1,
故有1b.
综上可得b的取值范围应是 ,
故选B.
本题主要考查确定直线的要素,点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用,还考查了运算能力以及综合分析能力,分类讨论思想,属于难题.
二、填空题
13.某校高一年级有学生850人,高二年级950人,高三年级1400人,现采用分层抽样抽取容量为64的一个样本,那么在高二年级应抽取的人数为______.
19
【分析】根据分层抽样的定义计算样本容量.
【详解】由题意高二年级应抽取的人数为.
故19.
14.已知两点,,直线:与线段有公共点,则直线的斜率的取值范围________
或
【分析】直线恒经过定点,利用斜率公式求解即可
【详解】由题意,直线恒经过定点,
由直线的斜率公式,可得,
要使直线与线段有公共点,或
故或
本题考查直线的斜率,考查直线过定点问题,是基础题
15.若满足关系式,则的最大值为_________;
4
【分析】设,与联立消元后由判别式得的最大值.
【详解】设,由得(),
所以,解得.
时,由()得,代入得,满足,
所以的最大值是4.
故4.
16.已知圆与圆,在下列说法中:
①对于任意的,圆与圆始终相切;
②对于任意的,圆与圆始终有四条公切线;
③当时,圆被直线截得的弦长为;
④P,Q分别为圆与圆上的动点,则的最大值为4.
其中正确命题的序号为___________.
①③④
【分析】①由两圆的方程求出圆心坐标和半径,结合两圆的位置关系的判定方法,即可求解;
②根据①中,两圆的位置关系,即可得到两圆的公切线的条数;
③把代入圆的方程,利用点到直线的距离公式,求得圆心到直线的距离,结合圆的弦长公式,即可求额及;
④根据两圆的位置关系,当两圆心确定的直线与两圆的两个交点,能使得的最大,即可求解.
【详解】由圆与圆,
可得圆心坐标分别为,半径分别为,
则圆心距为,而,所以两圆的位置关系为外切,
所以①正确;
由①两圆相外切,可得对于任意的,圆与圆始终有三条公切线,所以②不正确;
把代入圆,可得,
则圆心到直线的距离为,
所以圆被直线所截得的弦长,所以③正确;
由①知,圆相外切,所以,所以④正确.
综上可得,正确命题的序号为①③④.
故①③④.
本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用,以及直线与圆的位置关系的应用,其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法,以及直线与圆的弦长公式,准确计算是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
三、解答题
17.已知两直线,,当为何值时,和
(1)平行;
(2)垂直?
(1);(2)或.
【分析】(1)根据与平行的条件且列式可解得.
(2) 根据与垂直的条件列式可得.
【详解】(1)因为,所以,解得或,
当时,两条直线重合,不合题意舍去.
所以.
(2)因为,所以,解得或.
本题考查了两条直线平行或垂直的条件,属于基础题.
若,
则且;
.
18.已知圆与轴相切于点,与轴的正半轴交于两点,且.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线l与圆相切,求直线l方程.
(1)
(2)或
【分析】(1)由切点设出圆心坐标,由弦长圆半径,圆心坐标,然后可得圆方程;
(2)分类,切线斜率不存在和存在两种情形求解.
【详解】(1)设圆心C(a,4),则半径,由题意得:,
故圆方程为:
(2)①若直线l斜率不存在,则直线l:(符合题意)
②若直线l斜率存在,设直线l:,
则圆心到直线l的距离:,
直线l方程.
综上:直线l方程:或
19.已知圆,直线
(1)证明:不论m为何值,直线l与圆相交;
(2)求直线l与圆相交弦长的取值范围.
(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据直线系求出直线过定点,由点与圆的位置关系判断点在圆内,即可得出直线与圆的位置关系;
(2)根据圆的几何性质,当弦过圆心时弦长最大为直径,当圆心与连线与弦垂直时弦长最短,利用半径、半弦长、圆心到直线距离满足勾股定理求解.
【详解】(1)由圆C的一般式方程可得圆的标准方程,
直线l化为: .
,解得
直线过点,
,
点在圆C内,
故直线l与圆相交.
(2)直线l过圆心C时,弦最长,此时弦长为14,
当直线l与弦l最长垂直时,弦长最短,此时为弦的中点,
弦长为,
所以弦长的取值范围是.
20.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0.
(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.
(1)见解析(