十一、解析几何
一、单选题
1.(2022·全国甲(文)T11)已知椭圆的离心率为,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率及,解得关于的等量关系式,即可得解.
【详解】解:因为离心率,解得,,
分别为C左右顶点,则,
B为上顶点,所以.
所以,因为
所以,将代入,解得,
故椭圆的方程为.
故选:B.
2.(2022·全国甲(理)T10)椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线的斜率之积为,则C的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设,则,根据斜率公式结合题意可得,再根据,将用表示,整理,再结合离心率公式即可得解.
【详解】解:,
设,则,
则,
故,
又,则,
所以,即,
所以椭圆的离心率.
故选:A.
3.(2022·全国乙(文)T6)设F为抛物线的焦点,点A在C上,点,若,则()
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,从而求得点的横坐标,进而求得点坐标,即可得到答案.
【详解】由题意得,,则,
即点到准线的距离为2,所以点的横坐标为,
不妨设点在轴上方,代入得,,
所以.
故选:B
4.(2022·全国乙(理)T5)设F为抛物线的焦点,点A在C上,点,若,则()
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,从而求得点的横坐标,进而求得点坐标,即可得到答案.
【详解】由题意得,,则,
即点到准线的距离为2,所以点的横坐标为,
不妨设点在轴上方,代入得,,
所以.
故选:B
5.(2022·全国乙(理)T11)11. 双曲线C的两个焦点为,以C的实轴为直径的圆记为D,过作D的切线与C的两支交于M,N两点,且,则C的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴,设过作圆的切线切点为,可判断在双曲线的右支,设,,即可求出,,,在中由求出,再由正弦定理求出,,最后根据双曲线的定义得到,即可得解;
【详解】解:依题意不妨设双曲线焦点在轴,设过作圆的切线切点为,
所以,因为,所以在双曲线的右支,
所以,,,设,,
由,即,则,,,
在中,
,
由正弦定理得,
所以,
又,
所以,即,
所以双曲线的离心率
故选:C
6.(2022·新高考Ⅰ卷T11)已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则()
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A,联立AB与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得,所以抛物线方程为,故准线方程为,A错误;
,所以直线的方程为,
联立,可得,解得,故B正确;
设过的直线为,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,
所以,直线的斜率存在,设其方程为,,
联立,得,
所以,所以或,,
又,,
所以,故C正确;
因为,,
所以,而,故D正确.
故选:BCD
7.(2022·新高考Ⅱ卷T10)已知O为坐标原点,过抛物线的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点,若,则()
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及抛物线方程求得,再由斜率公式即可判断A选项;表示出直线的方程,联立抛物线求得,即可求出判断B选项;由抛物线的定义求出即可判断C选项;由,求得,为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A,易得,由可得点在的垂直平分线上,则点横坐标为,
代入抛物线可得,则,则直线的斜率为,A正确;
对于B,由斜率为可得直线的方程为,联立抛物线方程得,
设,则,则,代入抛物线得,解得,则,
则,B错误;
对于C,由抛物线定义知:,C正确;
对于D,,则为钝角,
又,则为钝角,
又,则,D正确.
故选:ACD.
8. (2022·北京卷T3)若直线是圆的一条对称轴,则()
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,将圆心代入直线计算求解.
【详解】由题可知圆心为,因为直线是圆的对称轴,所以圆心在直线上,即,解得.
故选:A.
二、填空题
1.(2022·全国甲(文)T15)记双曲线的离心率为e,写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________.
【答案】2(满足皆可)
【解析】
【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解:,所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点,只需,即,
可满足条件“直线与C无公共点”
所以,
又因为,所以,
故答案为:2(满足皆可)
2.(2022·全国甲(文)T14)设点M在直线上,点和均在上,则的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】设出点M的坐标,利用和均在上,求得圆心及半径,即可得圆的方程.
【详解】解:∵点M在直线上,
∴设点M为,又因为点和均在上,
∴点M到两点的距离相等且为半径R,
∴,
,解得,
∴,,
的方程为.
故答案为:
3.(2022·全国甲(理)T14). 若双曲线的渐近线与圆相切,则_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程,再将圆的方程化为标准式,即可得到圆心坐标与半径,依题意圆心到直线的距离等于圆的半径,即可得到方程,解得即可.
【详解】解:双曲线的渐近线为,即,
不妨取,圆,即,所以圆心为,半径,
依题意圆心到渐近线的距离,
解得或(舍去).
故答案为:.
4.(2022·全国乙(文)T15)过四点中的三点的一个圆的方程为____________.
【答案】或或或;
【解析】
【分析】设圆的方程为,根据所选点的坐标,得到方程组,解得即可;
【详解】解:依题意设圆的方程为,
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
故答案为:或或或;
5.(2022·全国乙(理)T14)过四点中的三点的一个圆的方程为____________.
【答案】或或或;
【解析】
【分析】设圆的方程为,根据所选点的坐标,得到方程组,解得即可;
【详解】解:依题意设圆的方程为,
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即;
故答案为:或或或;
6.(2022·新高考Ⅰ卷T14)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________.
【答案】或或
【解析】
【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,
两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,
当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切线为n时,易知切线方程为,
故答案为:或或.
7.(2022·新高考Ⅰ卷T16)已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________________.
【答案】13
【解析】
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为,根据离心率得到直线的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率,写出直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,利用弦长公式求得,得,根据对称性将的周长转化为的周长,利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴椭圆的方程为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,∴直线的斜率为,斜率倒数为, 直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,
判别式,
∴,
∴ , 得,
∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为:13.
8.(2022·新高考Ⅱ卷T15)已知点,若直线关于的对称直线与圆存在公共点,则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标,即可得到直线的方程,根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式,解得即可;
【详解】解:关于对称的点的坐标为,在直线上,
所以所在直线即为直线,所以直线为,即;
圆,圆心,半径,
依题意圆心到直线的距离,
即,解得,即;
故答案为:
9.(2022·新高考Ⅱ卷T16)已知椭圆,直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则直线l的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】令的中点为,设,,利用点差法得到,设直线,,,求出、的坐标,再根据求出、,即可得解;
【详解】解:令的中点为,因为,所以,
设,,则,,
所以,即
所以,即,设直线,,,
令得,令得,即,,所以,
即,解得或(舍去),
又,即,解得或(舍去),
所以直线,即;
故答案为:
10.(2022·北京卷T12)已知双曲线的渐近线方程为,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先可得,即可得到双曲线的标准方程,从而得到、,再跟渐近线方程得到方程,解得即可;
【详解】解:对于双曲线,所以,即双曲线的标准方程为,
则,,又双曲线的渐近线方程为,
所以,即,解得;
故答案为:
11.(2022·浙江卷T16)已知双曲线的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点且.若,则双曲线的离心率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】联立直线和渐近线方程,可求出点,再根据可求得点,最后根据点在双曲线上,即可解出离心率.
【详解】过且斜率为的直线,渐近线,
联立,得,由,得
而点在双曲线上,于是,解得:,所以离心率.
故答案为:.
12.(2022·浙江卷T17)设点P在单位圆的内接正八边形的边上,则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正八边形的结构特征,分别以圆心为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,即可求出各顶点的坐标,设,再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到,然后利用即可解出.
【详解】以圆心为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示:
则,,设,于是,
因为,所以,故的取值范围是.
故答案为:.
三、解答题
1.(2022·全国甲(文)T21)设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,.
(1)求C的方程;
(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)由抛物线的定义可得,即可得解;
(2)设点的坐标及直线,由韦达定理及斜率公式可得,再由差角的正切公式及基本不等式可得,设直线,结合韦达定理可解.
【小问1详解】
抛物线的准线为,当与x轴垂直时,点M的横坐标