广西壮族自治区防城港市东兴第二中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f (1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( ).
A.2 B.2+ C.-2-2 D.2+2
参考答案:
D
2. 已知点C在线段AB的延长线上,且,则等于
A.3 B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知幂函数为偶函数,且在上是单调递减函数,则m的值为
A. 0、1、2 B. 0、2 C. 1、2 D. 1
参考答案:
D
略
4. 在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个长方形的面积等于
其他十个小长方形面积的和的且样本容量是160,则中间一组的频数为( )
A.32 B.0.2 C.40 D.0.25
参考答案:
A
5. 已知tan(﹣α)=,则tan(+α)=( )
A. B.﹣ C. D.﹣
参考答案:
B
【考点】两角和与差的正切函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用诱导公式,两角和的正切公式,求得要求式子的值.
【解答】解:∵tan(﹣α)=,则tan(+α)=﹣tan[π﹣(+α)]=﹣tan(﹣α)=﹣,
故选:B.
【点评】本题主要考查诱导公式,两角和的正切公式,属于基础题.
6. 已知向量且,则=
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. △ABC中,,,,在下列命题中,是真命题的有( )
A. 若>0,则△ABC为锐角三角形
B. 若=0.则△ABC为直角三角形
C. 若,则△ABC为等腰三角形
D. 若,则△ABC为直角三角形
参考答案:
BCD
【分析】
由平面向量数量积的运算及余弦定理,逐一检验即可得解.
【详解】如图所示,
中,,,,
①若,则是钝角,是钝角三角形,错误;
②若,则,为直角三角形,正确;
③若,,,,取中点,则,所以,即为等腰三角形,正确,
④若,则,即,即,
由余弦定理可得:,即,即,即为直角三角形,即正确,
综合①②③④可得:真命题的有BCD,
故选:BCD
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算及余弦定理,属于中档题.
8. 设集合,,则A∪B=( )
A.[-1,4) B. [-1,3) C. (0,3] D. (0,3)
参考答案:
A
【分析】
先分别求出集合,,再根据集合并集的运算,即可求解.
【详解】由题意,集合,,
所以,故选:A.
【点睛】本题主要考查了并集的概念及运算,其中解答中熟记集合的并集的概念及运算是解答的关键,着重考查了运算求解能力,是基础题.
9. 已知2﹣9,2a1,2a2,2﹣1成等比数列,2,log3b1,log3b2,log3b3,0成等差数列,则b2(a2﹣a1)=( )
A.﹣8 B.8 C. D.
参考答案:
B
【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.
【分析】运用等比数列的通项公式,可得公比q,再由等比数列的定义可得a2﹣a1,再由等差数列中项的性质,结合对数的运算性质可得b2,即可得到所求值.
【解答】解:设等比数列的公比为q,
由2﹣9,2a1,2a2,2﹣1成等比数列,可得:
q3==28,即有q=2,
即=q=2,
可得a2﹣a1=;
2,log3b1,log3b2,log3b3,0成等差数列,
可得2log3b2=2+0,
解得b2=3,
则b2(a2﹣a1)=3×=8.
故选:B.
10. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为( )
A. B. C. D. 或
参考答案:
A
【分析】
连接,,根据平行关系可知所求角为,易知为等边三角形,从而可知,得到所求结果.
【详解】连接,
即为异面直线与所成角
又
即异面直线与所成角为:
本题正确选项:
【点睛】本题考查异面直线所成角的求解,关键是通过平移直线找到所成角,再放入三角形中进行求解.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设点,若在圆上存在点,使得,则的取值范围是________.
参考答案:
略
12. 若函数f(x)=,在R上为增函数,则实数b的取值范围为 .
参考答案:
[,0]
【考点】函数单调性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据反比例函数、二次函数的单调性及增函数的定义便可得到,解该不等式组即可得出实数b的取值范围.
【解答】解:f(x)在R上为增函数;
∴;
解得;
∴实数b的取值范围为[].
故答案为:[].
【点评】考查分段函数单调性的判断,反比例函数、二次函数的单调性,以及增函数的定义.
13. 如图,扇形的面积是,它的弧长是,则扇形的圆心角的弧度数为 ;弦的长为 .
参考答案:
2 ,
14. 已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,0)
【考点】函数单调性的性质.
【分析】由条件利用函数的单调性的性质,可得1﹣2a>1,且 a<0,由此求得a的取值范围.
【解答】解:由于函数f(x)=是R上的增函数,∴1﹣2a>1,且a<0,求得a<0,
故答案为:(﹣∞,0).
15. 已知函数,则__;若,则的值为__.
参考答案:
-3 ; 2或-5
【分析】
直接令求解,再根据列出关于的关系式进行求解即可.
【详解】,又故,
所以2或-5
故答案为:-3; 2或-5
【点睛】本题主要考查二次函数的基本运算,属于基础题型.
16. ,,若,则 .
参考答案:
略
17. 如果关于x的不等式和的解集分别为(a,b)和,,那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式 与不等式为“对偶不等式”,且,,那么= .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).
(Ⅰ)求φ的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.
参考答案:
【考点】HL:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;HW:三角函数的最值.
【分析】(I)由已知中函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).我们将(,)代入函数的解析式,结合φ的取值范围,我们易示出φ的值.
(II)由(1)的结论,我们可以求出y=f(x),结合函数图象的伸缩变换,我们可以得到函数y=g(x)的解析式,进而根据正弦型函数最值的求法,不难求出函数的最大值与最小值.
【解答】解:(I)∵函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)(0<φ<π),
又因为其图象过点(,).
∴φ﹣
解得:φ=
(II)由(1)得φ=,
∴f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)
=
∴
∵x∈[0,]
∴4x+∈
∴当4x+=时,g(x)取最大值;
当4x+=时,g(x)取最小值﹣.
19. 已知二次函数在区间上的最小值的解析表达式。
参考答案:
解:(解:函数,图像开口向上,对称轴为直线,设其在区间上的最小值 ,则
(1)当时,即时,
(2)当时,即时,
(3)当时,即时,
综上所述:二次函数在区间上的最小值为
略
20. (16分)已知等差数列的公差,中的部分项组成的数列恰好成等比数列,其中,
求:(1);
(2)求数列的前n项和.
参考答案:
由题知,等差数列中,成等比数列,
,
,
又
(2)
21. (本题满分13分)已知数列满足,
(1) 求数列的通项公式;
(2) 数列的前项和满足:,,求数列的前项和。
(3) 记,若对任意恒成立,求正整数m的最小值。
参考答案:
(1)由得
所以 ┄┄┄┄┄┄ 3分
(2)由得
所以:,所以 ┄┄┄┄┄┄ 6分
所以:
所以 ┄┄┄┄┄┄ 9分
(3)设,所以
所以
所以所以最大值为
所以,又m是正整数,所以,
所以的最小值为10 ┄┄┄┄┄┄ 13分
22. 已知A={x|x2≥9},B={},C={x||x-2|<4}.
(1)求A∩B及A∪C; (2)若全集U=R,求A∩CR(B∩C).
参考答案:
解析:由题意得A=,B=,C=. …3分
(1) ,; …………………5分
(2) , CR(B∩C)=
CR(B∩C)=. …………………………8分