江苏省南京市汤山中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列各式正确的是( )
参考答案:
C
略
2. 向圆内随机投掷一点,此点落在该圆的内接正边形内的概率为,下列论断正确的是 ( )
A.随着的增大,减小 B.随着的增大,增大
C.随着的增大,先增大后减小 D.随着的增大,先减小后增大
参考答案:
B
3. 平面和直线,给出条件:①;②;③;④;⑤.
为使,应选择下面四个选项中的条件( )
A.①⑤ B.①④ C.②⑤ D.③⑤
参考答案:
B
略
4. 下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
C
5. 计算( )
参考答案:
C
略
6. sin(-660°)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
.
本题选择D选项.
7. 如图,点P、Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线AD1、BD的中点,则异面直线PQ和BC1所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
C
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】如图所示,连接D1C,则PQ∥D1C,A1B∥D1C.则∠A1BC1是异面直线PQ和BC1所成的角.
【解答】解:如图所示,
连接D1C,则PQ∥D1C.
连接A1C1,A1B,则△A1C1B是等边三角形,A1B∥D1C.
则∠A1BC1是异面直线PQ和BC1所成的角,为60°.
故选:C.
8. 集合,,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条直线之间的位置关系是( )
A 异面 B 相交或平行或异面 C 相交 D 平行
参考答案:
B
10. 已知函数f(x)=,则f(2)=( )
A.32 B.16 C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的值.
【分析】先求出f(2)=f(﹣1),由此能求出结果.
【解答】解:∵函数f(x)=,
∴f(2)=f(﹣1)=2﹣1=.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式(2+1)()0的解集是____________________________.
参考答案:
12. 已知f(x)= ,则f()的解析式为____________
参考答案:
13. (5分)已知sin(+α)=,那么cosα= .
参考答案:
考点: 运用诱导公式化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 已知等式左边利用诱导公式化简,即可求出cosα的值.
解答: sin(+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=,
故答案为:
点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
14. 设使不等式成立的的集合是
参考答案:
15. 已知扇形的半径为12,弧长为18,则扇形圆心角为
参考答案:
16. 一样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程的两根,则这个样本的方差为________.
参考答案:
5
17. 把下面求n!( n!= n×(n-1)×……×3×2×1 )的程序补充完整
参考答案:
INPUT , i<=n, s=s*I
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 甲乙两地生产某种产品,他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A,B,C三地需要该产品数量分别为200吨,450吨,400吨,甲地运往A,B,C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨,5元/吨,乙地运往A,B,C三地的费用分别为5元/吨,9元/吨,6元/吨,问怎样调运,才能使总运费最小?
参考答案:
甲到B调运300吨,从乙到A调运200吨,从乙到B调运150吨,从乙到C调运400吨,总运费最小
【分析】
设从甲到A调运吨,从甲到B调运吨,则由题设可得 ,总的费用为,利用线性规划可求目标函数的最小值.
【详解】设从甲到A调运吨,从甲到B调运吨,从甲到C调运吨,则从乙到A调运吨,从乙到B调运吨,从乙到C调运吨,
设调运的总费用为元,则
.
由已知得约束条件为,可行域如图所示,
平移直线可得最优解为.
甲到B调运300吨,从乙到A调运200吨,从乙到B调运150吨,从乙到C调运400吨,总运费最小.
【点睛】本题考查线性规划在实际问题中的应用,属于基础题.
19. 已知向量,,,求作和.
参考答案:
详见解析
【分析】
根据向量加减法的三角形法则作图即可.
【详解】由向量加法的三角形法则作图:
由向量三角形加减法则作图:
【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则,属于中档题.
20. 分别求出适合下列条件的直线方程:
(Ⅰ)经过点a>2,t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍;
(Ⅱ)经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点,且和A(﹣3,1),B(5,7)等距离.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程.
【专题】方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】(Ⅰ)分别讨论直线过原点和不过原点两种情况,设出直线方程,解出即可;(Ⅱ)先求出直线的交点坐标,设出直线方程,再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可.
【解答】解:(Ⅰ)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,
将(﹣3,2)代入所设方程,解得a=,此时,直线方程为x+2y﹣1=0.
当直线过原点时,斜率k=﹣,直线方程为y=﹣x,即2x+3y=0,
综上可知,所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0.…
(Ⅱ)有解得交点坐标为(1,),
当直线l的斜率k存在时,设l的方程是y﹣=k(x﹣1),即7kx﹣7y+(2﹣7k)=0,
由A、B两点到直线l的距离相等得,
解得k=,当斜率k不存在时,即直线平行于y轴,方程为x=1时也满足条件.
所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1.…
【点评】本题考察了求直线方程问题,考察点到直线的距离公式,是一道中档题.
21. (14分)某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测.
车间
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件商品来自相同车间的概率.
参考答案:
考点: 古典概型及其概率计算公式.
专题: 概率与统计.
分析: (1)求出样本容量与总体中的个体数的比,然后求解A、B、C各车间产品的数量.
(2)设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.写出从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件.记事件D:“抽取的这2件产品来自相同车间”,写出事件D包含的基本事件,然后求解这2件产品来自相同车间的概率.
解答: (本小题满分12分)
(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,(2分)
所以A车间产品被选取的件数为,(3分)
B车间产品被选取的件数为,(4分)
C车间产品被选取的件数为.(5分)
(2)设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.
则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为:(A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,C1),(A,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共15个.(8分)
每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:“抽取的这2件产品来自相同车间”,则事件D包含的基本事件有:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2),共4个.(10分)
所以,即这2件产品来自相同车间的概率为.(12分)
点评: 本题考查古典概型概率的应用,等可能事件的概率的求法,基本知识的考查.
22. 已知数列{an}的前n项和为.
(1)求这个数列的通项公式an;
(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)当且时,利用求得,经验证时也满足所求式子,从而可得通项公式;(2)由(1)求得,利用错位相减法求得结果.
【详解】(1)当且时,…①
当时,,也满足①式
数列的通项公式为:
(2)由(1)知:
【点睛】本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题,关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时,采用错位相减法求和,属于常考题型.