江苏省宿迁市翰林中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个命题中的真命题为( )
A.,使得 B.,总有
C.,, D. ,,
参考答案:
D
略
2. 若数列{an}满足,,则的值为( )
A.2 B.-3 C. D.
参考答案:
B
, ,所以
故数列 是以4为周期的周期数列,故
故选B.
3. 已知i是实数集,复数z满足,则复数z的共轭复数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
将化为 ,对其进行化简得到,利用共轭复数的性质得到 。
【详解】可化为
的共轭复数为
故选C。
【点睛】在对复数的除法进行化简时,要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”。
4. 下列函数中,周期为,且在上为减函数的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
5. 已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
略
7. 已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,则一定有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
8. “”是“函数有零点”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
9. 有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
10. 已知直线与曲线仅有三个交点,则实数m的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若长方体的长、宽、高分别为1、2、3,则该长方体的外接球的表面积为 .
参考答案:
14π
12. 过点P(3,2),并且在两轴上的截距相等的直线方程为_______.
参考答案:
略
13. 若f(x)=在区间(-2,+)上是增函数,则a的取值范围是 .
参考答案:
略
14. 空间中一点出发的三条射线,两两所成的角为,在射线上分别取点,使 ,则三棱锥
的外接球表面积是______________.
参考答案:
略
15. 方程表示曲线,给出以下命题:
①曲线不可能为圆;
②若,则曲线为椭圆;
③若曲线为双曲线,则或;
④若曲线为焦点在轴上的椭圆,则.
其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号).
参考答案:
16. 如图4, 是以为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形内”,B表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”,则
(1);(2)
参考答案:
(1);(2)
本题考查几何概型,条件概率公式同时考查圆面积和正方形面积的计算,难度中等。(1)圆的面积为,圆内接正方形面积为所以。(2)扇形区域OHE的面积为,所以,,则,所以。
17. 记为一个位正整数,其中都是正整数,.若对任意的正整数,至少存在另一个正整数,使得,则称这个数为“位重复数”.根据上述定义,“四位重复数”的个数为.____________.
参考答案:
252
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)
已知函数和的图象关于原点对称,且.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)解不等式;
(Ⅲ)若在上是增函数,求实数的取值范围.
参考答案:
解析:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y),
则即∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,
∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解,
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
② 当λ≠-1时,对称轴的方程为x=.
(i) 当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1.
(ii) 当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0
19. 如图,设斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C: +=1交于A、B两点,且OA⊥OB.
(Ⅰ)求直线l在y轴上的截距(用k表示);
(Ⅱ)求△AOB面积取最大值时直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)设l:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由OA⊥OB,得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,联立,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2﹣9=0,由此利用韦达定理、根的判别式,结合已知条件能求出直线l在y轴上的截距.
(Ⅱ)设△AOB的面积为S,O到直线l的距离为d,则S=|AB|?d,由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出△AOB面积取最大值时直线l的方程.
【解答】解:(Ⅰ)设l:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
∵斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C: +=1交于A、B两点,且OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,∴,
∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,∴(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,(*)
联立,消去y,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2﹣9=0,
则,x1x2=,且△>0,代入(*)
从而得(1+k2)(3t2﹣9)﹣6k2t2+t2(1+3k2)=0,∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0,
∴,∴t=±,
∴直线l在y轴上的截距为或﹣.
(Ⅱ)设△AOB的面积为S,O到直线l的距离为d,则S=|AB|?d,
而由(1)知d=,且|AB|=
===,
∴≤,
当时,,解得k=,∴t=,
∴所求直线方程为y=或y=.
20. 某学科测试中要求考生从A,B,C三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有600名学生参加测试,选择A,B,C三题答卷数如表:
题
A
B
C
答卷数
180
300
120
(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷,其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份,则应分别从选择B,C题作答的答卷中各抽出多少份?
(Ⅱ)若在(Ⅰ)问中被抽出的答卷中,A,B,C三题答卷得优的份数都是2,从被抽出的A,B,C三题答卷中再各抽出1份,求这3份答卷中恰有1份得优的概率;
(Ⅲ)测试后的统计数据显示,B题的答卷得优的有100份,若以频率作为概率,在(Ⅰ)问中被抽出的选择B题作答的答卷中,记其中得优的份数为X,求X的分布列及其数学期望EX.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【专题】概率与统计.
【分析】(I)由=60可知:每60份试卷抽一份,即可得出;
(II)记事件M:被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份,这3份答卷中恰有1份得优,可知只能C题答案为优,利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出;
(Ⅲ)由题意可知,B题答案得优的概率为,显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,且X~B.利用P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5),及其E(X)=np即可得出分布列及其数学期望.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可得:
题
A
B
C
答卷数
180
300
230
抽出的答卷数
3
5
2
应分别从B、C题的答卷中抽出5份,2份.
(Ⅱ)记事件M:被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份,这3份答卷中恰有1份得优,可知只能C题答案为优,依题意P(M)==.
(Ⅲ)由题意可知,B题答案得优的概率为,显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,且X~B.P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5),可得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=0)=,
随机变量X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
5
P
∴E(X)=np==.
【点评】本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21. 已知动点到点的距离比到直线的距离小1,
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知直线与交于两点,是线段的中点,若,求点到
直线距离的最小值及此时点的直角坐标.
参考答案:
(1)
(2) 点到直线距离的最小值是3,此时点
22. (16分) 设,,函数
(1)用五点作图法画出函数在一个周期上的图象;
(2)求函数的单调递减区间和对称中心的坐标;
(3)求不等式的解集; (4)如何由的图象变换得到的图象.
(1)
参考答案:
(1) -----7分