江苏省南京市第三十九中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有
,则的值是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
3. 甲、乙两人下棋,结果是一人获胜或下成和棋.已知甲不输的概率为0.8,乙不输的概率为0.7,则两人下成和棋的概率为( )
A. 0.5 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
参考答案:
A
【分析】
设甲胜的概率为,乙胜的概率为,和棋的概率为,根据甲胜、乙胜和列方程组可解得.
【详解】设甲胜的概率为,乙胜的概率为,和棋的概率为,
则,两式相加得,又,
所以
故选A.
【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算公式,属基础题.
4. 某种型号的电脑自投放市场以来,经过三次降价,单价由原来的5000元降到2560元,则平均每次降价的百分率是( )
A.10% B.15% C.16% D.20%
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】设降价百分率为x%,由题意知5000(1﹣x%)2=2560,由此能够求出这种手机平均每次降价的百分率.
【解答】解:设降价百分率为x%,
∴5000(1﹣x%)3=2560,
解得x=20.
故选:D.
【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要注意挖掘隐含条件,寻找数量关系,建立方程.
5. 设X=,Y=,Z=,则=( )
A. {1,4} B.{1,7} C. {4,7} D.{1,4,7}
参考答案:
D
6. 若a=20.5,b=logπ3,c=log2,则有( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
参考答案:
A
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用对数和指数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵a=20.5>20=1,0<b=logπ3<logππ=1,<log21=0.
∴a>b>c.
故选:A.
【点评】本题考查了对数和指数函数的单调性,属于基础题.
7. 若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
8. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
⑴,;
⑵,;
⑶,;
⑷,;
⑸,。
A.⑴、⑵ B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸
参考答案:
C
(1)定义域不同;(2)定义域不同;(3)对应法则不同;
(4)定义域相同,且对应法则相同;(5)定义域不同;
9. 设,若存在使则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 下列函数中,与函数y=x相同的函数是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数+-函数-,若存在使得成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
12. 已知向量,,
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若,求向量与向量的夹角。
参考答案:
解:(Ⅰ),,且
6分
(Ⅱ),,
,
设向量与向量的夹角为
,12分
略
13. 若三条直线,,不能围成三角形,则实数m取值集合为 ▲ .
参考答案:
{4,1,﹣1}
14. 在等差数列{an}中,,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当时,Sn取最大值,则d的取值范围是 .
参考答案:
15. 集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的最大值为 .
参考答案:
2
【考点】并集及其运算.
【分析】当a>1时,代入解集中的不等式中,确定出A,求出满足两集合的并集为R时的a的范围;当a=1时,易得A=R,符合题意;当a<1时,同样求出集合A,列出关于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范围.综上,得到满足题意的a范围,即可求出a的最大值.
【解答】解:当a>1时,A=(﹣∞,1]∪[a,+∞),B=[a﹣1,+∞),
若A∪B=R,则a﹣1≤1,
∴1<a≤2;
当a=1时,易得A=R,此时A∪B=R;
当a<1时,A=(﹣∞,a]∪[1,+∞),B=[a﹣1,+∞),
若A∪B=R,则a﹣1≤a,显然成立,
∴a<1;
综上,a的取值范围是(﹣∞,2].
则a的最大值为2,
故答案为.2.
16. 函数y=的值域是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
【考点】函数的值域.
【专题】计算题.
【分析】本题利用分离的方法来求函数的值域,由函数的解析式分离出2x的表达式,利用2x>0来求解y的取值范围,进而求出函数的值域.
【解答】解:由已知得:,由2x>0得
所以有:y>1或y<﹣1.
故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
【点评】本题考查了函数的三要素﹣﹣值域,指数函数的性质,分离法求函数的值域.
17. 设数列则是这个数列的第 项。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)已知数列{an}的首项a1=1,且满足(an+1﹣1)an+an+1=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)由满足(an+1﹣1)an+an+1=0(n∈N*).整理得﹣=1,利用等差数列的通项公式即可得出.
(2)由(1)知:cn==n?3n,再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:(1)由满足(an+1﹣1)an+an+1=0(n∈N*).
整理得﹣=1,
∴数列是等差数列,首项与公差都为1.
∴=1+(n﹣1)=n,
∴an=.
(2)由(1)知:cn==n?3n,
∴数列{cn}的前n项和Sn=3+2×32+3×33+…+n?3n,
∴3Sn=32+2×33+…+(n﹣1)?3n+n?3n+1,
∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=×3n+1﹣,
∴Sn=×3n+1+.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了变形推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 已知R为实数集,集合A={x|log2x≥1},B={x|x﹣a>4}.
(Ⅰ)若a=2,求A∩(?RB);
(Ⅱ)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算.
【专题】计算题;集合思想;综合法;集合.
【分析】(Ⅰ)若a=2,求出A,?RB,即可求A∩(?RB);
(Ⅱ)若A∪B=B,则A?B,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵log2x≥1,∴x≥2,即A=[2,+∞),
∵a=2,∴B={x|x>6},∴?RB=(﹣∞,6],
∴A∩(?RB)=[2,6];
(Ⅱ)∵A∪B=B,∴A?B,
∵A=[2,+∞),B={x|x>a+4},
∴a+4<2,
∴a<﹣2.
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于基础题.
20. (12分)已知函数其中
(1)求函数的定义域;
(2)若函数的最小值为,求的值。
参考答案:
(1)由 解得
∴函数的定义域为
由 得 ∴
21. 已知,,且
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当时,f(x)的最小值是-4,求此时函数f(x)的最大值,并求出函数f(x)取得最大值时自变量x的值
参考答案:
(1)(2)
试题分析:(1)由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式,运用三角函数基本公式化简为的形式;(2)由定义域可得到的范围,结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值
试题解析:(1)
即
(2)由,,,
,
,
此时,
考点:1.向量的数量积运算;2.三角函数化简及三角函数性质
22. 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M、N分别为PA、BC的中点,且PD=AD
(I)求证:MN//平面PCD;
(II)求证:平面PAC⊥平面PBD;
参考答案:
(1)取AD中点E,连接ME,NE.
由已知M,N分别是PA,BC的中点.
∴ME//PD,NE//CD
又ME,平面MNE
所以,平面MNE//平面PCD.
MN平面MNE
所以,MN//平面PCD
(Ⅱ)因为四边形ABCD为正方形.
所以AC⊥BD.
又PD⊥平面ABCD.AC平面ABCD所以PD⊥AC.
又BDPD=D.
所以AC⊥平面PBD.
AC平面PAC
所以平面PAC⊥平面PBD