江苏省宿迁市沭阳县庙头中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M-N=240, 则展开式中x3的系数为( )
A.-150 B.150 C.-500 D.500
参考答案:
B
略
2. 已知F是双曲线(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,点在以为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 已知函数f(x)=mlnx+8x﹣x2在[1,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣8] B.(﹣∞,﹣8) C.(﹣∞,﹣6] D.(﹣∞,﹣6)
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,得到m≤2x2﹣8x在[1,+∞),令h(x)=2x2﹣8x,x∈[1,+∞),根据函数的单调性求出m的范围即可.
【解答】解:f′(x)=+8﹣2x=,
令g(x)=﹣2x2+8x+m,
若函数f(x)=mlnx+8x﹣x2在[1,+∞)上单调递减,
则﹣2x2+8x+m≤0在[1,+∞)成立,
则m≤2x2﹣8x在[1,+∞),
令h(x)=2x2﹣8x,x∈[1,+∞),
h′(x)=4x﹣8,令h′(x)>0,解得:x>2,
令h′(x)<0,解得:1≤x<2,
故h(x)在[1,2)递减,在(2,+∞)递增,
故h(x)min=h(2)=﹣8,
故m≤﹣8,
故选:A.
【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题.
4. 函数的最大值为( )
A B C D
参考答案:
A
略
5. 实验测得五组(x,y)的值是(1,2)(2,4)(3,4)(4,7)(5,8),若线性回归方程为=0.7x+,则的值是( )
A.1.4 B.1.9 C.2.2 D.2.9
参考答案:
D
【考点】线性回归方程.
【分析】根据五组(x,y)的值计算、,利用线性回归方程过样本中心点求出的值.
【解答】解:根据五组(x,y)的值,计算
=×(1+2+3+4+5)=3,
=×(2+4+4+7+8)=5,
且线性回归方程=0.7x+过样本中心点,
则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9.
故选:D.
6. 函数f(x)=(a+1)tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数的充要条件是( )
A.a=4 B.a=﹣1 C.a=4或a=﹣1 D.a∈R
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】方程思想;定义法;简易逻辑.
【分析】根据充要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行求解即可.
【解答】解:∵函数f(x)=(a+1)tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
即(a+1)tan2x﹣3sinx+a2﹣3a﹣4=﹣,
即(a+1)tan2x+a2﹣3a﹣4=﹣(a+1)tan2x﹣(a2﹣3a﹣4),
则,
即,即,
则a=﹣1,
当a=﹣1时,f(x)=3sinx为奇函数,
则函数f(x)=(a+1)tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数的充要条件是a=﹣1,
故选:B
【点评】本题主要考查充要条件的求解,根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键.
7. 双曲线两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设出双曲线的标准方程,则可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出其斜率之积为﹣1进而求得a和b的关系,进而根据c=求得a和c的关系,则双曲线的离心率可得.
【解答】解:设双曲线方程为=1,则双曲线的渐近线方程为y=±x
∵两条渐近线互相垂直,
∴×(﹣)=﹣1
∴a2=b2,
∴c==a
∴e==
故选A
8. 已知集合,给出下列四个对应关系,其中不能构成从到的映射的是( )
A. B . C. D.
参考答案:
D
略
9. 已知函数在处的导数为3,则的解析式可能为 ( )
A.(x-1)3+3(x-1) B.2(x-1)2 C.2(x-1) D.x-1
参考答案:
A
略
10. 三角形的面积为为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可得出四面体的体积为( )
A.
B.
C. (分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)
D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列说法正确的是______
①“若,则或”的否命题是真命题
②命题“”的否定是“”
③,使得
④“”是“表示双曲线”的充要条件.
参考答案:
①②④
【分析】
分别判断每个选项的真假,最后得到答案.
【详解】①“若,则或”的否命题为:若,则且,正确
②命题“”的否定是“”,正确
③,使得.
设
即恒成立,错误
④“”是“表示双曲线”的充要条件
当:表示双曲线
当表示双曲线时:
故“”是“表示双曲线”的充要条件
故答案为:①②④
【点睛】本题考查了否命题,命题的否定,充要条件,综合性强,意在考查学生的综合应用能力.
12. ,,,
,…以此类推,第个等式为 .
参考答案:
略
13. 有6名学生,其中有3名会唱歌,2名会跳舞;1名既会唱歌也会跳舞;现从中选出2名会唱歌的,1名会跳舞的去参加文艺演出,则共有选法________种
参考答案:
15
14. 已知直线经过,其倾斜角为,则直线的方程是_______________.
参考答案:
15. 已知,则 .
参考答案:
考点:两角差的正切公式及运用.
16. 圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.
参考答案:
2
略
17. 给出下面的程序框图,那么其循环体执行的次数是
参考答案:
从运行到步长为,运行次数为499
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题共12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(I)判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若,求f(A)的最大值.
参考答案:
3分
4分
6分
7分
8分
9分
11分
12分
略
19. 已知曲线C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,O为坐标原点
(Ⅰ)当m为何值时,曲线C表示圆;
(Ⅱ)若曲线C与直线 x+2y﹣3=0交于M、N两点,且OM⊥ON,求m的值.
参考答案:
【分析】(Ⅰ)根据曲线方程满足圆的条件求出m的范围即可;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意OM⊥ON,得到?=0,利用平面向量数量积运算法则列出关系式,联立直线与圆方程组成方程组,消去x得到关于y的一元二次方程,根据直线与圆有两个交点,得到根的判别式大于0,求出m的范围,利用韦达定理求出y1+y2与y1y2,由点M(x1,y1),N(x2,y2)在直线x+2y﹣3=0上,表示出x1与x2,代入得出的关系式中,整理即可确定m的值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:D2+E2﹣4F=(﹣2)2+(﹣4)2﹣4m=20﹣4m>0,
解得:m<5;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),
由题意OM⊥ON,得到?=0,即x1x2+y1y2=0①,
联立直线方程和圆的方程:,
消去x得到关于y的一元二次方程:5y2﹣12y+3+m=0,
∵直线与圆有两个交点,
∴△=b2﹣4ac=122﹣4×5×m>0,即m+3<,即m<,
又由(Ⅰ)m<5,∴m<,
由韦达定理:y1+y2=,y1y2=②,
又点M(x1,y1),N(x2,y2)在直线x+2y﹣3=0上,
∴x1=3﹣2y1,x2=3﹣2y2,
代入①式得:(3﹣2y1)(3﹣2y2)+y1y2=0,即5y1y2﹣6(y1+y2)+9=0,
将②式代入上式得到:3+m﹣+9=0,
解得:m=<,
则m=.
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:根的判别式,直线与圆的交点,韦达定理,平面向量的数量积运算,以及二元二次方程成为圆的条件,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20. 如图,已知离心率为的椭圆过点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线i交椭圆C于不同的两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记直线MB、MA与x轴的交点分别为P、Q,若MP斜率为k1,MQ斜率为k2,求k1+k2.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M(2,1)及隐含条件a2=b2+c2列方程组可求a2,b2,则椭圆方程可求;
(2)设出直线l的方程,设出A,B两点的坐标,把直线和椭圆联立后可求A,B两点的横坐标的和与积,把直线MA,MB的斜率k1、k2分别用A,B两点的坐标表示,把纵坐标转化为横坐标后,则k1+k2仅含A,B两点的横坐标的和与积,化简整理即可得到结论.
【解答】解:(1)设椭圆C的方程为:.
由题意得:,
把①代入②得:a2=4b2④.
联立③④得:a2=8,b2=2.
∴椭圆方程为.
(2)∵M(2,1),∴kOM=
又∵直线l∥OM,可设l:y=x+m,将式子代入椭圆C得:x2+4(x+m)2﹣8=0,
整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣4.
设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2,则k1=,k2=.
事实上,k1+k2=+
==1+m(+)
=1+m?
=1+m?
=1﹣
=0.
k1+k2的值为0.
21. (12分)(1)如图①、②、③、④为四个平面图,数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们把平面分成了多少个区域?请将结果填入下表中:
顶点
边数
区域数
①
②
③
④
(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数V,边数E,区域数F之间有什么关系;
(3)现已知某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形的边数。
参考答案:
(1)
顶点
边数
区域数
①
3
3
2
②
8
12
6
③
6
9
5
④
10
15
7
(2)V+F=E=2 (3)E=V+F-2=1996
22. 若定义在上的函数同时满足下列三个条件:
①对任意实数均有成立;
②;
③当时,都有成立。
(1)求,的值;
(2)求证:为上的增函数
(3)求解关于的不等式.
参考答案: