河北省邢台市银桥中学高二数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点,是它们的共同焦距,且它们的离心率互为倒数.是它们在第一象限的交点,当时,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
2. 下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R,lg x=0 B.?x∈R,tan x=1 C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0
参考答案:
C
【考点】特称命题;全称命题.
【专题】数形结合;分析法;简易逻辑.
【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断;D、由指数函数的值域来判断.
【解答】解:A、x=1成立;
B、x=成立;
D、由指数函数的值域来判断.
对于C选项x=﹣1时,(﹣1)3=﹣1<0,不正确.
故选:C.
【点评】本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题.
3. 设函数f(x)=sin(wx+)+sin(wx﹣)(w>0)的最小正周期为π,则( )
A. f(x)在(0,)上单调递增 B. f(x)在(0,)上单调递减
C. f(x)在(0,)上单调递增 D. f(x)在(0,)上单调递减
参考答案:
B
考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.
专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
分析: 利用两角和与两角差的正弦可化简得f(x)=﹣sinwx,依题意知w=2,利用正弦函数的单调性可得答案.
解答: 解:∵f(x)=sin(wx+)+sin(wx﹣)
=﹣sinwx+coswx﹣sinwx﹣coswx=﹣sinwx,
又f(x)的最小正周期为π,w>0,
∴w=2.
∴f(x)=﹣sin2x,
∵y=sin2x在[﹣,]上单调递增,
∴f(x)=﹣sin2x在[﹣,]上单调递减,
∴f(x)在(0,)上单调递减,
故选:B.
点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查两角和与两角差的正弦及正弦函数的单调性与周期性,属于中档题.
4. 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线一条渐近线经过点(4,2),它的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 设平面向量=(1,2),= (-2,y),若 //,则|3十|等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 设是等比数列的前项和,若,则( )
A. B.2 C.5 D.
参考答案:
D
设等比数列首项为,公比为, ,,则,, ,,选D.
7. 已知00,则的最小值为( )
A. (a+b)2 B. (a-b)2 C. a+b D. a-b
参考答案:
A
8. 双曲线的渐近线为,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 下列命题中,正确的命题是( )
(A) 分别在两个不同平面内的两条直线一定是异面直线;
(B) 直线在内,直线不在内,则是异面直线;
(C) 在空间中,经过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线平行;
(D) 垂直于同一条直线的两条直线平行.
参考答案:
C
10. 椭圆上的点到直线(为参数)的最大距离是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在如下程序框图中,已知:,则输出的是 .
参考答案:
略
12. 已知椭圆的离心率,A,B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB倾斜角分别为,则 ▲
参考答案:
略
13. 记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是 .
参考答案:
[,4]
【考点】简单线性规划.
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件 的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入y=a(x+1)中,求出y=a(x+1)对应的a的端点值即可.
【解答】解:满足约束条件 的平面区域如图示:
因为y=a(x+1)过定点(﹣1,0).
所以当y=a(x+1)过点B(0,4)时,得到a=4,
当y=a(x+1)过点A(1,1)时,对应a=.
又因为直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点.
所以≤a≤4.
故答案为:[,4]
14. 函数的单调递减区间为______________,其最小值是_____________.
参考答案:
,
15. 在平面直角坐标系xoy中,若直线(t为参数)过椭圆C:(为参数)的右顶点,则常数a的值为______.
参考答案:
3
16. 命题:“若,则”的逆否命题是_______________.
参考答案:
若x≥1或x≤-1,则x2≥1
略
17. 某学校高中部组织赴美游学活动,其中高一240人,高二260人,高三300人,现需按年级抽样分配参加名额40人,高二参加人数为 .
参考答案:
13
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 若实数满足,求证:
参考答案:
略
19. 在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动。设点P运动的路程为x,的面积为y,且y与x之间的函数关系式用如图所示的程序框图给出.
(1)写出框图中①、②、③处应填充的式子;(2)若输出的面积y值为6,则路程x的值为多少?并指出此时点P的在正方形的什么位置上?
参考答案:
解:(1)框图中①、②、③处应填充的式子分别为: ……6分
(2)若输出的y值为6,则,解得,当时,此时点P在正方形的边BC上;当时,此时点P在正方形的边DA上. ……6分
20. 如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,,且.
(1)证明:直线BD∥平面PCE;
(2)证明:平面PAC⊥平面PCE;
(3)若直线PC与平面ABCD所成的角为45°,求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【分析】
(1)连接,交于,设中点为,连接,通过证明四边形是平行四边形,证得,由此证得平面.(2)通过证明,证得平面,由此证得平面,进而有平面平面.(3)以点或者点建立空间直角坐标系,通过平面和平面的法向量,计算二面角的余弦值.
【详解】(1)证明:连接BD,交AC于点O,设PC中点为F,连接OF,EF.
因为O,F分别为AC,PC的中点,
所以,且,因,且,
所以,且,
所以四边形OFED为平行四边形,所以,即 ,
又平面,面,所以面;
(2)因为平面,平面,所以.
因为是菱形,所以.
因为,所以平面,
因为,所以平面 ,
因为平面,所以平面平面 ;
(3)解法1:因为直线与平面所成角为,
所以,所以 ,
所以,故△为等边三角形.
设BC的中点为M,连接AM,则.
以A为原点,AM,AD,AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如图).
则, ,设平面PCE的法向量为,
则,即,
令则所以 ,
设平面CDE的法向量为,
则即,
令则所以 ,
设二面角的大小为,由于为钝角,
所以.
所以二面角的余弦值为.
解法2:因为直线与平面所成角为,且平面,
所以,所以.
因为,所以为等边三角形.
因为平面,由(1)知,
所以平面.
因为平面,平面,所以且.
在菱形中,.
以点为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系(如图).
则,
则,
设平面的法向量为,
则即,
令,则,则法向量.
设平面的法向量为,
则,即,
令,则则法向量.
设二面角的大小为,由于为钝角,
则.
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查利用空间向量法求二面角的余弦值,考查运算求解能力,属于中档题.
21. 椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线y=x+1与椭圆C交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)根据题意先求出a,由离心率求出c、b,代入椭圆方程即可;
(2)联立直线方程和椭圆方程消去y求出交点A、B的横坐标,代入直线方程求出对应的纵坐标,代入两点间的距离公式求出|AB|.
【解答】解:(1)因为短轴一个端点到右焦点的距离为,则,
由得,则b2=a2﹣c2=1,
所以椭圆的方程为;
(2)由消去y得,2x2+3x=0,
解得x1=0或x2=,所以y1=1、y2=,
所以两个交点为:A(0,1)、B(,),
则.
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质、标准方程,两点间的距离公式,以及直线与椭圆相交问题,属于中档题.
22. 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边.
(1)若△ABC面积S△ABC=,c=2,A=60°,求a、b的值;
(2)若a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状.
参考答案:
【考点】余弦定理;三角形的形状判断.
【分析】(1)由A的度数求出sinA和cosA的值,再由c及三角形的面积,利用三角形的面积公式求出b的值,然后由b,c及cosA的值,利用余弦定理即可求出a的值;
(2)由三角形的三边a,b及c,利用余弦定理表示出cosB,代入已知的a=ccosB,化简可得出a2+b2=c2,利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形,在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义表示出sinA,代入b=csinA,化简可得b=a,从而得到三角形ABC为等腰直角三角形.
【解答】解:(1)∵,
∴,得b=1,
由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2?cos60°=3,
所以.
(2)由余弦定理得:,∴a2+b2=c2,
所以∠C=90°;
在Rt△ABC中,,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.