河北省秦皇岛市抚宁县大新寨镇四通中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】根据已知中的三视图可分析出该几何体的直观图,代入棱锥体积公式可得答案.
【解答】解:几何体如图所示,则V=,
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,正确得出直观图是解答的关键.
2. 若复数z满足,则|z|=
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 已知是双曲线的两个焦点,以为直径的圆与双曲线一个交点是P,且的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是
A. B. C.2 D.5
参考答案:
D
4. 已知函数(为常数)是奇函数,则的反函数是 [答]( )
A. . B..
C.. D..
参考答案:
A
5. (5分)若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2﹣4x+3,则函数f(x﹣1)的单调递减区间是( )
A. (2,4) B. (0,2) C. (2,3) D. (0,1)
参考答案:
A
【考点】: 利用导数研究函数的单调性.
【专题】: 计算题;导数的综合应用.
【分析】: 先确定f(x)的单调递减区间,再利用图象的变换,可得f(x﹣1)的单调递减区间.
解:函数f(x)的导函数为f′(x)=x2﹣4x+3,
由f′(x)<0,可得x2﹣4x+3=(x﹣1)(x﹣3)<0,得1<x<3.
∴f(x)的单调递减区间为(1,3).
又函数f(x﹣1)的图象是函数f(x)的图象向右平移1个单位得到的,
∴函数f(x﹣1)的单调递减区间为(2,4).
故选A.
【点评】: 本题考查利用导数研究函数的单调性,考查图象的平移变化,考查分析问题与转化解决问题的能力,属于基础题.
6. 设函数是定义在实数集上的奇函数,在区间[-1,0)上是增函数,且,则有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
由题意可得,,再利用函数在区间上是增函数可得答案.
【详解】解:为奇函数,,
又
,,
又,且函数在区间上是增函数,
,
,
故选A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小,考查利用知识解决问题的能力.
7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=﹣11,a5+a6=﹣4,Sn取得最小值时n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和;数列的函数特性.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】【解法一】求出{an}的通项公式an,在an≤0时,前n项和Sn取得最小值,可以求出此时的n;
【解法二】求出{an}的前n项和Sn的表达式,利用表达式是二次函数,有最小值时求对应n的值.
【解答】解:【解法一】在等差数列{an}中,设公差为d,
∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4,
∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4;
∴d=2,
∴an=a1+(n﹣1)d=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13,
由2n﹣13≤0,得n≤,
∴当n=6时,Sn取得最小值;
【解法二】在等差数列{an}中,设公差为d,
∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4,
∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4,
∴d=2,
∴前n项和Sn=na1+=﹣11n+=n2﹣12n,
∴当n=6时,Sn取得最小值;
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题,是基础题.
8. 设集合M={x|x2﹣x﹣2<0},N={x|x≤k},若M∩N=M,则k的取值范围是( )
A.(﹣∞,2] B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,+∞) D.[2,+∞)
参考答案:
D
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】求出集合N中不等式的解集,根据两集合的交集为M,得到M为N的子集,列出关于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范围.
【解答】解:∵M∩N=M,
∴M?N,
∵M={x|﹣1<x<2},N={x|x≤k},
∴k≥2.
故选D.
【点评】此题常考了交集及其运算,以及集合间的包含关系,其中根据题意得出M是N的子集是解本题的关键.
9. 已知b,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C.ln(a﹣b)>0 D.3a﹣b>1
参考答案:
D
【考点】对数函数的图像与性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】直接利用对数函数的单调性写出结果即可.
【解答】解:y=是单调减函数,
,可得a>b>0,
∴3a﹣b>1.
故选:D.
【点评】本题考查对数函数的单调性以及指数函数的单调性的应用,考查计算能力.
10. 若实数x,y满足,则的最小值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 10
参考答案:
C
【分析】
先画出满足条件的平面区域,有得到,通过平移直线发现直线过时,最小,代入求出的最小值即可.
【详解】解:画出满足条件的平面区域,如图示:
,
由得:,
由图象得:过时,最小,
,
故选:C.
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么= (用和表示)
参考答案:
【考点】向量的线性运算性质及几何意义.
【专题】数形结合;向量法;平面向量及应用.
【分析】根据条件即可得出,这样代入即可用表示出.
【解答】解:根据条件:
=
=.
故答案为:.
【点评】考查三等分点的概念,向量数乘的几何意义,相等向量和相反向量的概念,以及向量加法的几何意义.
12. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,平面交棱AA1于点F.给出下列命题:
①存在点E,使得//平面;
②对于任意的点E,平面平面;
③存在点E,使得平面;
④对于任意的点E,四棱锥的体积均不变.
其中正确命题的序号是______..
参考答案:
①②④
13. 已知命题“”,命题 “”,若命题均是真命题,则实数的取值范围是________.
参考答案:
略
14. 20.(本小题满分12分)
如图,抛物线
(I);
(II)
参考答案:
15. 为了活跃学生课余生活,我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球.根据需要,排球至少买3个,篮球至少买2个,并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍,则能买排球和篮球的个数之和的最大值是 .
参考答案:
12
【考点】简单线性规划.
【分析】设买排球x个,篮球y个,由题意列关于x,y的不等式组,作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:设买排球x个,篮球y个,买排球和篮球的个数之和z=x+y.
则,
由约束条件作出可行域如图:
联立,解得A(8,4),
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,由图可知,
当直线y=﹣x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为12.
故答案为:12.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
16. 已知向量,向量,则在方向上的投影为__ _。
参考答案:
2
17. 已知腰长为2的等腰直角中,为斜边的中点,点为该平面内一动点,若,则的最小值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(1)求函数的值域;
(2)若时,函数的最小值为,求的值和函数 的最大值。
参考答案:
解:(1)设
在上是减函数
所以值域为 …… 6分
(2) 由
所以在上是减函数
或(不合题意舍去)…… 10分
当时有最大值,即 …… 12分
19. (本题13分)现有2011年上海世界游泳锦标赛的游泳比赛门票3张,每张票均可以观看某三场比赛中的任意一场(三场比赛时间不冲突),现将它们分发给甲,乙,丙三人,每人一张.如果每个人观看任何一场比赛的概率都是,且每人的选择不受彼此的影响.
(1)求三人观看同一场比赛的概率;
(2)求三人中至少两人观看的是同一场比赛的概率.
参考答案:
解:(1)记事件A=“三人观看的是同一场比赛”,根据条件,每个人观看任何一场比赛的概率都是,由独立性可得,
(2)记事件B=“三人中至少两人观看的是同一场比赛”,其对立事件=“三人观看的比赛各不相同”,所以,
略
20. 在ABC中,记角A,B,C的对边为a,b,c,角A为锐角,设向量 ,且
(I)求角A的大小及向量与的夹角;
(II)若,求ABC面积的最大值
参考答案:
(I) (II) 解析:解:(1)
因为角为锐角,所以,……………………………………3分
根据
………………………………………………….6分
(2)因为,,
得:……………………9分
即面积的最大值为
略
21. (本题满分14分)在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1上的任一点到点(1,0)的距离与到直线的距离之比为,动点Q是动圆C2:上一点.
(1)求曲线C1的轨迹方程;
(2)若点P为曲线C1上的点,直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值.
参考答案:
(1)设,依题意得化简方程得.……3分
(2)依题意可知直线PQ显然有斜率,设其方程为
设、,…………………………………………………………………4分
由于直线PQ与曲线C1相切,点P为切点,从而有
得,故…………6分
从而可得,…………………………………………8分
又直线PQ与圆C2相切,则……………………9分
由(1)、(2)得,………………………………………………………………10分
并且
即,当且仅当时取等号,………………………………………13分
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值………………………………………………14分
22. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点E、F分别为棱AB、PD的中点.
(1)求证:AF∥平面PCE;(2)求证:平面PCE⊥平面PCD;
参考答案:
证明: (1)取PC的中点G,连结FG、EG,
∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD
∵四边形ABCD为矩形,E为AB的中点
∴ABCD ∴FGAE ∴四边形AEGF是平行四边形
∴AF∥EG 又EG 平面PCE,AF平面PCE ∴AF∥平面PCE
(2)∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD,PA⊥CD,又AD⊥CD,PAAD=A
∴CD⊥平面ADP ,又AF平面ADP ∴CD⊥AF
直角三角形PAD中,∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA=AD=2
∵F是PD的中点,∴AF⊥PD,又CDPD=D
∴A