河北省石家庄市鹿泉高新区中学高三数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列为等差数列,且,,则 ( )
A.45 B.43 C. 40 D.42
参考答案:
D
,
2. 四棱锥的底面为正方形,侧面为等边三角形,且侧面底面,点在底面正方形内(含边界)运动,且满足,则点在正方形内的轨迹一定是
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. “a=﹣1”是“直线ax+(2a﹣1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的( )
A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
【考点】两条直线垂直的判定.
【分析】当a=﹣1时直线ax+(2a﹣1)y+1=0的斜率和直线3x+ay+3=0的斜率都存在,只要看是否满足k1?k2=﹣1即可.
【解答】解:当a=﹣1时直线ax+(2a﹣1)y+1=0的斜率是,直线3x+ay+3=0的斜率是3,
∴满足k1?k2=﹣1
a=0时,直线ax+(2a﹣1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直,
∴a=﹣1是直线ax+(2a﹣1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件.
故选A.
4. 已知函数,若,其中,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
首先由对数函数的性质求出的范围在(0,1),再用基本不等式求解即可.
【详解】根据题意不防设,则由,
得,即,
所以.因为,所以.
所以答案为C
【点睛】本题考查对数函数的图像与性质、基本不等式,综合性比较强.
5. 已知为偶函数,且,当时,;若,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. A,b为正实数,且的最大值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知的元素个数( )
A.0 B.2 C.3 D.5
参考答案:
B
,,所以元素个数为2个。
8. (5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A. 72 B. 120 C. 144 D. 168
参考答案:
B
【考点】: 计数原理的应用.
【专题】: 计算题.
【分析】: 根据题意,分2步进行【分析】:①、先将3个歌舞类节目全排列,②、因为3个歌舞类节目不能相邻,则分2种情况讨论中间2个空位安排情况,由分步计数原理计算每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案.
解:分2步进行【分析】:
1、先将3个歌舞类节目全排列,有A33=6种情况,排好后,有4个空位,
2、因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,
分2种情况讨论:
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4种情况,
排好后,最后1个小品类节目放在2端,有2种情况,
此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种;
②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2种情况,
排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,
此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种;
则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,
故选:B.
【点评】: 本题考查计数原理的运用,注意分步方法的运用,既要满足题意的要求,还要计算或分类简便.
9. 对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是( )
A.10个 B.15个 C.16个 D.18个
参考答案:
B
略
10. 设i=(1,0),j=(0,1),若向量a满足|a-2i|+|a-j|=,则|a+2j|的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部,则实数k的范围是 .
参考答案:
(0,1)
考点:简单线性规划.
专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用.
分析:由题意作出其平面区域,求出k的临界值,从而结合图象写出实数k的取值范围.
解答: 解:由题意作出其平面区域,
当直线y=kx+3与AB重合时,k=0,是直角三角形,
当直线y=kx+3与AD重合时,k=1,是直角三角形;
故若区域为一个锐角三角形及其内部,
则0<k<1;
故答案为:(0,1).
点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,利用临界值求取值范围,属于中档题.
12. 若函数y=f(x)的值域为[,3],则F(x)=f(x)+的值域为( ).
A.[,3] B.[2,] C.[,] D.[3,]
参考答案:
B
13. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升;
参考答案:
14. 设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为,则当时,的最小值为 .
参考答案:
15. 设函数,,若关于的方程有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数的取值构成的集合 .
参考答案:
16. 若满足的三角形有两个,则边长的取值范围是_________.
参考答案:
试题分析:由题设及正弦定理可得,即,故,由余弦定理可得,即,由题设可知,解之得.故应填答案.
考点:正弦定理余弦定理及二次方程的根判别式的综合运用.
【易错点晴】本题三角形的边角关系为背景,考查的是与解三角形等有关知识和数学思想的综合问题,解答时先正弦定理求得,即,故,再运用余弦定理建立方程,即,进而将问题转等价转化为方程有两个不等的正根问题,然后利用方程理论建立不等式组,然后解不等式组求出,从而获得答案.
17. 某单位有职工52人,现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号、32号、45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是___________.
参考答案:
19
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)口袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各2个,从口袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的8倍计分,每个小球被取出的可能性相等,用表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(I)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(II)随机变量的概率分布和数学期望;
(III)计分介于17分到35分之间的概率.
参考答案:
(Ⅰ)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为,
则. ……………………………3分
(Ⅱ)由题意所有可能的取值为:2,3,4.
……………………………7分
所以随机变量的概率分布为
2
3
4
因此的数学期望为. ……………………………9分
(Ⅲ)“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为,则
. …………………12分
19. 不等式选讲
设函数
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式(,,)恒成立,求实数的范围.
参考答案:
解:(1), 所以解集 ……5分
(2) 由 ,
得,由,得,
解得或 ……10分
略
20. 设函数,且曲线斜率最小的切线与直线平行.
求:(1)的值;
(2)函数的单调区间.
参考答案:
21. 已知函数满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值。
参考答案:
22. 已知向量,(其中实数和不同时为零),当时,有,当时,.
(1)求函数式;
(2)求函数的单调递减区间;
(3)若对,都有,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)当时,由 得,
;(且)----------------------------------------------------2分
当时,由.
得 --------------------------------------------------------------4分
∴ -----------------------------------5分
(2)当且时,
由<0,解得,-------------------------------------------6分
当时, ----------------------------8分
∴函数的单调减区间为(-1,0)和(0,1) ------------------------------9分
(3)对,
都有 即,
也就是
对恒成立,----------------------------------------------------11分
由(2)知当时,
∴ 函数在和都单调递增-------------------------------12分
又,
当时 ,
∴当时, 同理可得,当时, 有,
综上所述得,对,
取得最大值2;∴ 实数的取值范围为. ----------------14分