河北省邯郸市寿山寺乡寿山寺中学2023年高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列是等差数列，且，则（    ）  A.           B.             C．         D.  参考答案： D 略 2. 给出命题:若函数是幂函数,则函数的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是  (     ) A.0         B.1        C.2       D.3 参考答案： B 略 3. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 参考答案： A 【考点】29：充要条件． 【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1?a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项． 【解答】解：a＞b+1?a＞b； 反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1， 故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件． 故选：A． 4. 椭圆=1上存在n个不同的点P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F．数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（　　） A．16 B．15 C．14 D．13 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（|PnF|）min≥|a﹣c|=，（|PnF|）max≤a+c=3，|PnF|=|P1F|+（n﹣1）d．再由数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，可求出n的最大值． 【解答】解：∵（|PnF|）min≥|a﹣c|=，（|PnF|）max≤a+c=3，||PnF|=|P1F|+（n﹣1）d ∵数列{|PnF|}是公差d大于的等差数列， ∴d=＞，解得n＜10+1， 则n的最大值为15 故选：B 5. 长方体中，AB=15，BC=8，则与平面的距离为      （ 　） A．          B．          C．8          D．15 参考答案： Ａ 6. 若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】计算题． 【分析】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数． 【解答】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4， ∴a，b分别为函数y=4﹣x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标 由于y=x与y=4﹣x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称 ∴a+b=4 ∴函数f（x）= 当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0， ∴x=﹣2或x=﹣1，满足题意 当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意 ∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3 故选C． 【点评】本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性． 7. 下列推理过程不是演绎推理的是（    ）． A． ① ②             B．② ③          C．③  ④         D．②④ ①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数， 2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{an}中，，，由此归纳出{an}的通项公式； ④由“三角形内角和为180°”得到结论：直角三角形内角和为180° 。 A. ① ②    B. ② ③    C. ③  ④    D. ②④ 参考答案： B 演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论， 演绎推理的特点是从一般到特殊， 根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确， ①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数， 2019不能被2整除，是演绎推理，故①不选； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方，是类比推理， 不是演绎推理，故选②； ③在数列中，，，由此归纳出的通项公式，是归纳推理 不是演绎推理，故选③； ④由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为，是演绎推理， 故④不选； 总上可知②③符合要求， 故选：B   8. 已知x＜0，则有（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 参考答案： A 【考点】基本不等式． 【分析】根据基本不等式即可求出最大值． 【解答】解：∵x＜0， ∴﹣x＞0， ∴y=3x+=﹣[（﹣3x）+（）]≤﹣2=﹣4，当且仅当x=﹣时取等号， ∴y=3x+有最大值为﹣4， 故选：A 9. 已知物体运动的方程是（的单位：； 的单位：），则该物体在 时的瞬时速度为（  ） A.2       B.1  C.0       D.3   参考答案： C 略 10. 已知a, b为正数, 且直线(a+1)x+2y-1=0与直线3x+(b-2)y+2=0互相垂直, 则的最小值为(   ) A.12    B.      C.1      D.25 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆与抛物线 （＞0）的准线相切，则  *** . 参考答案： 2  略 12. 在平行四边形中，，，把沿着对角线折起，使与成角，则         . 参考答案： 略 13. 某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本．若抽到的女运动员有5人，则n的值为　   　． 参考答案： 12 【考点】B3：分层抽样方法． 【分析】根据男女运动员的人数比例确定样本比例为42：30=7：5，然后根据比例进行抽取即可． 【解答】解：田径队有男运动员42人，女运动员30人，所男运动员，女运动员的人数比为：42：30=7：5， 若抽到的女运动员有5人，则抽取的男运动员的人数为7人， 则n的值为7+5=12 故答案为：12． 14. 命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是　    　． 参考答案： “若a2＞b2，则a＞b” 【考点】四种命题． 【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案． 【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”， 故答案为：“若a2＞b2，则a＞b” 15. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算出此角的正弦值即可． 【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， ∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角． 在△AC1A1中，sin∠AC1A1===． 故答案为：． 16. 函数y＝的定义域为__________. 参考答案： 略 17. 1 887与2 091的最大公约数是　　． 参考答案： 51 【考点】用辗转相除计算最大公约数． 【分析】本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将1 887与2 091代入易得到答案． 【解答】解：∵2091=1×1887+204， 1887=9×204+51， 204=4×51， 故1 887与2 091的最大公约数是51， 故答案为：51． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q． （1）若直线AB过焦点F，求|AF|?|BF|的值； （2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【分析】（1）求出p=4，可得抛物线方程，与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）求解即可． （2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过△＞0，以及韦达定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p）， 方法一利用弦长公式，求出p． 方法二：通过化简，结合韦达定理，求解p即可． 【解答】解：（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，… 与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣16x﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）… 则x1+x2=16，x1x2=﹣16，… ∴|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；… （2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣4px﹣4p=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0，则x1+x2=4p，x1x2=﹣4p，… P（2p，4p+2），Q（2p，2p），… 方法一∴|PQ|=2p+2，… … ， ∴4p2+3p﹣1=0， … 故存在p=且满足△＞0… 方法二：由得：（x1﹣2p）（x2﹣2p）+（y1﹣2p）（y2﹣2p）=0… 即（x1﹣2p）（x2﹣2p）+（2x1+2﹣2p）（x2+2﹣2p）=0，… ∴，… 代入得4p2+3p﹣1=0，． 故存在p=且满足△＞0， ∴p=    … 19. 已知一个数列前项和=，求它的通项公式 参考答案： 解析：当n>1时        a=-=n-[(n-1)+(n-1)-1]          =2n                                 ①             5分 当n=1时    a==1                                             8分 因为a=1不满足①。                                   10分 所以数列的通项公式为                a=                                12分 20. 设椭圆E： =1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率及过点过M（2，），N（，1）列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程． （2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB|的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点， ∵，解得：， ∴， 椭圆E的方程为… （Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且， 设该圆