河北省石家庄市衡水中学2023年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若直线,与互相垂直,则的值为( )
A. B.1 C.0或 D.1或
参考答案:
D
略
2. 若实数,满足不等式组则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若,,则等于( )
A. 7 B. 13 C. 15 D. 31
参考答案:
C
【分析】
先根据已知求出,即得的值.
【详解】由题得,即,
则,
故选:C.
【点睛】本题主要考查等比数列通项基本量的计算,考查等比数列的前n项和的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数,则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
参考答案:
D
6. 把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有( )
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种
参考答案:
试题分析:分类:三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆最至少1个,只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆最至少1个,只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为3个,那是不可能的。
考点:本题主要考查分类计数原理的应用。
点评:本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始,分别计算不同分法,然后求和。用列举法也可以,形象、直观易懂。
7.
正四棱锥中,侧棱与底面所成的角为,侧面与底面所成的角为,侧面等腰三角形的底角为,相邻两侧面所成的二面角为,则、、、的大小关系是( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
8. 在钝角△ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是( )
A.
(1,3)
B.
(1,)
C.
(,3)
D.
不确定
参考答案:
C
略
9. 已知数列 满足: >0,,则数列{ }是( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 不确定
参考答案:
B
由等比数列的定义可知根据条件>0,可确定数列{ }是等比数列,并且是递减数列.
10. ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,,则球O的表面积等于 ▲ .
参考答案:
略
12. 已知数列的前n项的和满足,则= .
参考答案:
;解析:由得,∴,
∴,;
∴=;
13. 若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点,则这个椭圆的离心率为 .
参考答案:
∵椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点
∴,即.
14. 下面是一个算法.如果输出的y的值是20,则输入的x的值是 .
参考答案:
2或6
15. 已知,则从大到小的排列应为________________.
参考答案:
16. .蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=_____________.
参考答案:
37,f(n)=3n2-3n+1
17. 在行列式中,元素5的代数余子式的值=______
参考答案:
12
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分) .已知函数f(x)=x3-ax2+3x.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值和最小值.
参考答案:
(1)∵f′(x)=3x2-2ax+3≥0在[1,+∞)上恒成立,
∴ (当x=1时取最小值).
∴a的取值范围为(-∞,3].……………… 6分
(2)∵f′(3)=0,即27-6a+3=0,
∴a=5,f(x)=x3-5x2+3x,x∈[1,5],
f′(x)=3x2-10x+3.
令f′(x)=0,得x1=3,x2=(舍去).
当10,
即当x=3时,f(x)取极小值f(3)=-9.
又f(1)=-1,f(5)=15,
∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15. …………12分
19. 一束光线过点射到x轴上,再反射到圆C: 上,
(1)当反射光线经过圆心时,求反射光线所在的直线方程的一般式;
(2)求反射点的横坐标的变化范围。
参考答案:
解析:(1)M点关于x轴的对称点为,圆C的圆心为(1,-4)所以反射光线所在的直线的方程为:
(2)当反射光线的斜率存在时,设其方程为:
有分析只当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围,所以有圆心到反射光线的距离等于半径,即,则反射光线的方程为
当斜率不存在时,经检验也与圆相切,则反射点的横坐标的取值范围是
20. 已知中,,,点在直线上,若的面积为,求出点坐标.
参考答案:
解析:由题得:.
,(为点到直线的距离).
设点坐标为,的方程为,即.
由,
解得或.
点坐标为或.
21. (本题满分10分)在 △ABC中,已知 B=30°,,,解三角形并判断三角形的形状.
参考答案:
∵ ∴sinC= …… 4分
∴C=60°或120° …… 8分
当C=60°时,A=90°
当C=120°时,A=30° …… 10分
∴△ABC 是直角三角形或顶角是 120°等腰三角形. …… 12分
22. 在直角坐标系中直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:.
(1)求直线l的普通方程及曲线C直角坐标方程;
(2)若曲线C上的点到直线l的距离的最小值.
参考答案:
(1)直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;(2).
【分析】
(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.
(2)计算圆心到直线的距离,判断相离,再利用公式得到答案.
【详解】解:(1)直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为
(2)曲线的圆心到直线的距离所以直线与圆相离,则曲线上的点到直线的距离的最小值为
【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程,将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.