河北省衡水市加会中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设 若,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
,,所以, 选B.
3. 方程的根所在的区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 如图,在A、B间有四个焊接点,若焊接点脱落,而可能导致电路不通,如今发现A、B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 ( )
A.10 B.12 C.13 D.15 (第6题图)
参考答案:
C
5. 已知函数的定义域为,则函数的单调递增区间是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
参考答案:
6. 已知,,则( )。
A. . B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 复数(为虚数单位)等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 函数的图象大致是
参考答案:
A
略
9. 元朝著名数学家朱世杰《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”其意思为:“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游,先遇到酒店就将酒添加一倍,后遇到朋友饮酒一斗,如此三次先后遇到酒店和朋友,壶中酒恰好饮完,问壶中原有多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的x=0,那么在这个空白框中可以填入( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
因为将酒添加一倍,后饮酒一斗,所以2x-1,选B
10. 已知函数当时,有解,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设直线x+my-1=0与圆相交于A、B两点,且弦AB的长为,则实m的值是 .
参考答案:
由圆的方程可知圆心坐标为,半径为2,因为弦AB的长为,所以圆心到直线的距离。即,所以解得。
12. 若复数为虚数单位)为纯虚数,则____________.
参考答案:
略
13. 若6x2+4y2+6xy=1,x,y∈R,则x2﹣y2的最大值为 .
参考答案:
【考点】3H:函数的最值及其几何意义.
【分析】令x2﹣y2=t,条件式两边同乘t,得到关于的方程,根据方程有解列不等式得出t的范围.
【解答】解:设x2﹣y2=t,
则6tx2+4ty2+6txy=x2﹣y2,
即(6t﹣1)x2+6txy+(4t+1)y2=0,
若y=0,则x2=,此时t=,
若y≠0,则(6t﹣1)()2+6t?+(4t+1)=0有解
∴6t﹣1=0或36t2﹣4(6t﹣1)(4t+1)≥0,
解得﹣≤t≤,
当且仅当x+3y=0且y2=时,t取得最大值.
故答案为.
14. 不等式组表示的平面区域为,直线与区域有公共点,则实数的取值范围为_________.
参考答案:
做出不等式组对应的区域为三角形BCD,直线过定点,由图象可知要使直线与区域有公共点,则有直线的斜率,由得,即。又,所以,即。
15. 设变量x,y满足约束条件,则z=(a2+1)x﹣3(a2+1)y的最小值是﹣20,则实数a= .
参考答案:
±2
【考点】简单线性规划.
【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合图象求出a的值即可.
【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:
,
由,解得:A(2,2),
由z=(a2+1)x﹣3(a2+1)y,
得:y=x﹣,
显然直线过A(2,2)时,z最小,
故2(a2+1)x﹣6(a2+1)=﹣20,
解得:a=±2,
故答案为:±2.
【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.
16. 直线过点,则该直线的倾斜角为
参考答案:
17. 已知n次多项式. 如果在一种计算中, 计算(k=2,3,4,……, n)的值需要次乘法, 计算的值共需要9次运算(6次乘法, 3次加法). 那么计算的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法: , , 利用该算法, 计算的值共需要6次运算, 计算的值共需要__________次运算.
参考答案:
;2n.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修:不等式选讲
(1)已知关于的不等式在上恒成立,求实数的最小值;
(2)已知,求证:.
参考答案:
(1),
(2)因为,所以
19. (1)求不等式的解集;
(2)若存在实数满足,求实数a的最大值.
参考答案:
解:(1)
当时,由,得
当时,由,得
当时,由,得
所以不等式的解集为
(2) X.K]
依题意有,即
解得
故的最大值为3
20. 设命题p:实数x满足(x﹣4a)(x﹣a)<0,其中a>0,命题q:实数x满足x2﹣4x+3≤0.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)由(x﹣4a)(x﹣a)<0得a<x<4a,
当a=1时,1<x<4,即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<4,
由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是1≤x≤3,
若p∧q为真,则1<x≤3,所以实数x的取值范围是(1,3],
(2)设A={x|a<x<4a},B={x|1≤x≤3},
q是p的充分不必要条件,则B?A,
所以?<a<1,所以实数a的取值范围是(,1).
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假.
专题:简易逻辑.
分析:(1)将a=1代入,求出q为真时x的范围,从而求出p且q为真时x的范围;(2)q是p的充分不必要条件,则B?A,得到不等式组,解出即可.
解答:解:(1)由(x﹣4a)(x﹣a)<0得a<x<4a,
当a=1时,1<x<4,即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<4,
由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是1≤x≤3,
若p∧q为真,则1<x≤3,所以实数x的取值范围是(1,3],
(2)设A={x|a<x<4a},B={x|1≤x≤3},
q是p的充分不必要条件,则B?A,
所以?<a<1,所以实数a的取值范围是(,1).
点评:本题考查了复合命题的判断,考查了充分必要条件问题,是一道基础题.
21. 等差数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且,,中的任何两个数不在下表的同一列。
第一列
第二列
第三列
第一行
8
1
7
第二行
3
4
6
第三行
9
2
5
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的。
参考答案:
解:(1)由表可知,
(2)
22. (12分)已知点P(x,y)是圆上的动点,
(1)求2x+y的取值范围;
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)设圆的参数方程为 为参数),
2x+y=2cossinsin其中tan.
∴. (6分)
(2)x+y+a=cossin
∴cossinsin.
∴.(12分)