河北省衡水市重点中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
因为集合,则等于,选B
2. 已知上的减函数,那么a的取值范围是( )
A. B. C.(0,1) D.
参考答案:
A
3. 为假命题,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知方程有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 在等差数列中,若,则等于( )
A. 96 B. 48 C. 24 D. 12
参考答案:
B
略
6. 阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出v的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的v,i的值,当i=﹣1时不满足条件i≥0,退出循环,输出v的值为6.
【解答】解:模拟程序的运行,可得
n=2,a0=1,a1=2,a2=3,
v=3,i=1
满足条件i≥0,执行循环体,v=5,i=0
满足条件i≥0,执行循环体,v=6,i=﹣1
不满足条件i≥0,退出循环,输出v的值为6.
故选:C.
7. 函数的零点所在区间为( )
A.(3,+∞) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
参考答案:
B
略
8.
已知向量a=(1,2),b=(-2,1),则向量a 与b
A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且反向 D.平行且同向
参考答案:
答案:A
9. 设则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 已知圆与直线,若直线l与圆相交于A、B两点,且△ABC为等边三角形,则b的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
首先由△ABC为等边三角形,得到圆心到直线的距离,列方程求的值.
【详解】
圆心,半径 ,
为等边三角形,
圆心到直线的距离,
即 ,
.
故选:A
【点睛】本题考查直线与圆相交的综合问题,意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,属于基础题型.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列中,,,,
则……= .
参考答案:
:,,∴,
…………
所以……=
12. 已知函数y=sinx+sin(x-)
(1)f(x)的最小正周期为_____________.
(2)f(x)的最大值是_____________.
参考答案:
(1) (2)
略
13. 若不等式对于能够成立,则的取值范围是_________。
参考答案:
14. 已知具有线性相关关系的两个相关变量与之间的几组数据如下表:
2
4
6
8
10
5
6
5
9
10
利用最小二乘法求得线性回归方程为___________________;
参考答案:
15. A袋中有1个红球2个白球,B袋中有2个红球1个白球,从A袋中任取一个球与B袋中任取一个互换,这样的互换进行了一次. 那么,A袋中至少有一个红球的概率是 .
参考答案:
略
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为,
是双曲线上的一点,若,则 ▲ .
参考答案:
答案:0
17. 已知函数的定义域为,函数的值域为,则 .
参考答案:
(0,1)
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知.
(1)讨论的单调性;
(2)若有三个不同的零点,求a的取值范围.
参考答案:
解:(1)由已知的定乂域为,又,
当时,恒成立;
当时,令得;令得.
综上所述,当时,在上为增函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数.
(2)由题意,则,
当时,∵,
∴在上为增函数,不符合题意.
当时,,
令,则.
令的两根分别为且,
则∵,∴,
当时,,∴,∴在上为增函数;
当时,,∴,∴在上为减函数;
当时,,∴,∴在上为增函数.
∵,∴在上只有一个零点 1,且。
∴
.
∵,又当时,.∴
∴在上必有一个零点.
∴
.
∵,又当时,,∴.
∴在上必有一个零点.
综上所述,故的取值范围为.
19. 以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的单位长度,已知直线I的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2,点P关于极点对称的点P'QUOTE p?的极坐标为(1)写出圆C的直角坐标方程及点P的极坐标;
(2)设直线I与圆C相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化方法写出圆C的直角坐标方程;利用点P关于极点对称的点P'的极坐标为,得到点P的极坐标;
(2)设直线I与圆C相交于两点A、B,将代入x2+y2=4,得:,即可求点P到A、B两点的距离之积.
【解答】解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=2,直角坐标方程为x2+y2=4;
点P关于极点对称的点P'的极坐标为,则P();
(2)点P化为直角坐标为P(1,1)
将代入x2+y2=4,得:,
所以,点P到A、B两点的距离之积.
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查参数方程的运用,考查参数的几何意义,属于中档题.
20.
0
1
2
3
已知,且方程有两个不同的正根,其中一根是另一根的倍,记等差数列、的前项和分别为,且()。
(1)若,求的最大值;
(2)若,数列的公差为3,试问在数列与中是否存在相等的项,若存在,求出由这些相等项从小到大排列得到的数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)若,数列的公差为3,且,.
试证明:.
参考答案:
解:(1),,
故的最大值为。
(2)由(1)知,可得,
令,可得:矛盾
所以在数列与中不存在相等的项。
(3)证明:∵∴要证
即要证(直接用数学归纳法证明不出)
只要证明(再用数学归纳法证明即可)
提示:当时,只要证:
21. (12分)在三人兵乓球对抗赛中,甲、乙、丙三名选手进行单循环赛(即每两人比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得1分,输者得0分,没有平局;在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为。
(1)求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率;
(2)求三人得分相同的概率;
参考答案:
(1); (2)P(B)=
略
22. (本题满分12分)已知 。
(1)解关于a的不等式.
(2)当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时,求实数的值.
参考答案:
(1)f(1)= =, ∵ f(1)>0 ∴,
=24+4b,当b≤-6时,△≤0,∴ f(1)>0的解集为φ;
当b>-6时,∴ f(1)>0的解集为
(2)∵ 不等式的解集为(-1,3),
∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解,∵解集为(-1,3)
∴ ,解之得.