河北省邯郸市曲陌乡曲陌中学高二数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前n项和满足,则其公差等于( )
A.2 B.4 C.±2 D.±4
参考答案:
A
2. 平面平行,且,下列四个命题中
①内的所有直线平行 ②内的无数条直线平行
③内的任意一条直线都不垂直 ④无公共点
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
3. 设复数,则的值为 ( )
参考答案:
B
4. 如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面ABCD上的动点,点M在棱AB上,且AM=,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为4,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
参考答案:
B
【考点】抛物线的定义.
【分析】作PQ⊥AD,作QR⊥D1A1,PR即为点P到直线A1D1的距离,由勾股定理得 PR2﹣PQ2=RQ2=4,又已知PR2﹣PM2=4,PM=PQ,即P到点M的距离等于P到AD的距离.
【解答】解:如图所示:正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,作PQ⊥AD,Q为垂足,则PQ⊥面ADD1A1,过点Q作QR⊥D1A1,
则D1A1⊥面PQR,PR即为点P到直线A1D1的距离,由题意可得 PR2﹣PQ2=RQ2=4.
又已知 PR2﹣PM2=4,
∴PM=PQ,即P到点M的距离等于P到AD的距离,根据抛物线的定义可得,点P的轨迹是抛物线,
故选 B.
5. 在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切,则圆C面积的最小值为( )
A.π B.π C.(6﹣2)π D.π
参考答案:
A
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】如图,设AB的中点为C,坐标原点为O,圆半径为r,由已知得|OC|=|CE|=r,过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF,交AB于D,交直线2x+y﹣4=0于F,则当D恰为AB中点时,圆C的半径最小,即面积最小.
【解答】解:如图,设AB的中点为C,坐标原点为O,圆半径为r,
由已知得|OC|=|CE|=r,
过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF,
交AB于D,交直线2x+y﹣4=0于F,
则当D恰为AB中点时,圆C的半径最小,即面积最小
此时圆的直径为O(0,0)到直线2x+y﹣4=0的距离为:
d==,
此时r=
∴圆C的面积的最小值为:Smin=π×()2=.
故选:A.
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系,考查圆的面积的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用.
6. 双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.2 B. C.3 D.2
参考答案:
D
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程,再代入点到直线的距离公式即可求出结论.
【解答】解:由题得:其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±x
所以焦点到其渐近线的距离d==2.
故选:D.
【点评】本题给出双曲线的方程,求它的焦点到渐近线的距离.着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.
7. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
参考答案:
A
【分析】由已知当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,可判断函数g(x)=为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)>0等价于x?g(x)>0,数形结合解不等式组即可.
【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:g′(x)=,
∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,
即当x>0时,g′(x)恒小于0,
∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,
又∵g(﹣x)====g(x),
∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(﹣1)==0,
∴函数g(x)的图象性质类似如图:
数形结合可得,不等式f(x)>0?x?g(x)>0
?或,
?0<x<1或x<﹣1.
故选:A.
8. 已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,则实数λ等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 在复平面内,复数(i为虚数单位)等于
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 已知函数,则的值是( )
A. B.9 C.﹣9 D.﹣
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解.
【解答】解:∵,
∴f()==﹣2,
∴=3﹣2=.
故答案为:.
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,它在处的切线方程为,则的取值范围是__________.
参考答案:
[0,+∞)
【分析】
由题可先求出,再令,则,根据单调性求出的最小值,从而得到答案。
【详解】因为函数,所以,
则,即
又由切点坐标为得切线方程为,即,
所以
所以
令,则
所以在上, , 在上单调递减,
在上, , 在上单调递增,
则的最小值为
则有
则的取值范围是
【点睛】本题考查导数的几何意义,以及通过构造函数研究单调性的方法求最值,属于偏难题目。
12. 在△ABC中,若b=1,c=,∠C=,则a= .
参考答案:
1
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】先根据b,c,∠c,由正弦定理可得sinB,进而求得B,再根据正弦定理求得a.
【解答】解:在△ABC中由正弦定理得,
∴sinB=,
∵b<c,
故B=,则A=
由正弦定理得
∴a==1
故答案为:1
13. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为 _______________.
参考答案:
14. 在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为 ▲ .
参考答案:
15. 若直线与直线,分别交于点、,且线段的中点坐标为,
则直线的斜率为____________;
参考答案:
略
16. 函数的最小正周期为_______
参考答案:
【分析】
先化简函数f(x),再利用三角函数的周期公式求解.
【详解】由题得
所以函数的最小正周期为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17. f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2016x+log2016x,则函数f(x)的零点的个数是
参考答案:
3
考点:根的存在性及根的个数判断.
专题:计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.
分析:可知f(0)=0;再由函数零点的判定定理可判断在(0,+∞)上有且只有一个零点,再结合奇偶性可判断f(x)在(﹣∞,0)上有且只有一个零点,从而解得.
解答:解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0;
∵f(x)=2016x+log2016x在(0,+∞)上连续单调递增,
且f()<0,f(1)=2016>0;
故f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,
又∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)在(﹣∞,0)上有且只有一个零点,
∴函数f(x)的零点的个数是3;
故答案为:3.
点评:本题考查了函数的性质的应用及函数的零点的判定定理的应用
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面(即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面).其设计的光学原理是:由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射,光线均沿与轴线平行方向路径反射,而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面(线)在该点处的切面(线).
定义:经光滑曲线上一点,且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.
设计一款汽车前灯,已知灯口直径为,灯深(如图).设抛物镜面的一个轴截面为抛物线,以该抛物线顶点为原点,以其对称轴为轴建立平面直角坐标系(如图).
抛物线上点到焦点距离为,且在轴上方.研究以下问题:
求点坐标.
参考答案:
见解析.
解:设点坐标为,,则,
∵点到焦点的距离为,
∴,得,
∴,
故点的坐标为.
19. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
参考答案:
略
20. (本小题满分12分)求函数的最小值,其中
参考答案:
,
y在上递减, 上递增
ⅰ),即
,在取到最小
ⅱ),即
,当时取到最小ks5u
略
21. (本小题满分10分)
(1)计算;
(2)计算.
参考答案:
(1) (2)
试题分析:(1)对化简,化简再对另外两项化简进行加减;(2)指数幂的混合运算,难点,,,然后再相加减;(注意式子的变形)
试题解析:
(1)原式=; (5分)
(2)原式=. (10分)
考点:1.指数幂的运算;2.对数的运算;
22. 已知a∈R,设命题p:指数函数y=ax (a>0且a≠1)在R上单调递增;命题q:函数y=ln(ax2-ax+1)的定义域为R.若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求a的取值范围.
参考答案:
由命题p,得a>1,对于命题q,即使得x∈R,ax2-ax+1>0恒成立
若a>0,△=a2-4a<0,即0<a<4……………………4分;
若a=0,1>0恒成立,满足题意,所以0≤a<4 ....5分
由题意知p与q一真一假,
综上可知,a的取值范围为[0,1]∪[4,+∞).……………10分
考点:1.命题的判断;2.一元二次不等式恒成立;3.分类讨论.