河北省衡水市三朗中学2023年高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【考点】6A:函数的单调性与导数的关系.
【分析】根据导数大于0时函数单调递增,导数小于0时原函数单调递减确定函数f(x)的单调性
【解答】解:由图象可知,即求函数的单调减区间,
从而有解集为[﹣,1]∪[2,3],
故选:A.
2. 函数的最小正周期( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 若命题:,:,则是的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
4. 若a、b、c是常数,则“a>0且b2﹣4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.
【分析】要判断“a>0且b2﹣4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”什么条件,我们要先假设“a>0且b2﹣4ac<0”成立,然后判断“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”是否成立,然后再假设“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”成立,再判断“a>0且b2﹣4ac<0”是否成立,然后根据结论,结合充要充要条件的定义,即可得到结论.
【解答】解:若a>0且b2﹣4ac<0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c>0,
反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c>0.
故“a>0且b2﹣4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的充分不必要条件
故选A
5. 在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
参考答案:
D
试题分析:由题意得复数,所以共轭复数为,在负平面内对应的点为位于第一象限,故选D.
考点:复数的运算及表示.
6. 直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是( )
A.平行 B.不平行
C.平行或重合 D.既不平行也不重合
参考答案:
C
【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系.
【专题】计算题.
【分析】化简方程组得到2k﹣1=0,根据k值确定方程组解的个数,由方程组解得个数判断两条直线的位置关系.
【解答】解:∵由方程组,得2k﹣1=0,
当k=时,方程组由无穷多个解,两条直线重合,当k≠时,方程组无解,两条直线平行,
综上,两条直线平行或重合,
故选 C.
【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系,方程有唯一解时,两直线相交,方程组有无穷解时,两直线重合,方程组无解时,两直线平行.
7. 命题r:如果则且.若命题r的否命题为p,命题r的否定为q,则
A.P真q假 B. P假q真 C. p,q都真 D. p,q都假
参考答案:
A
略
8. 若函数,则( )
A. -2 B. C. D. -e
参考答案:
C
9. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数在上的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
略
10. 已知平面过点,,,则原点到平面的距离为( )
A.3 B.6 C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边上的中点,双曲线均以图中的F1、F2为焦点,设图(1),(2),(3)中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3.则e1、e2、e3的大小关系为________.
参考答案:
略
12. 已知函数y=f(x)的图象在x=3处的切线方程为y=﹣2x+7,则f(3)+f′(3)的值是 _________ .
参考答案:
略
13. 已知线段AD∥平面α,且与平面α的距离等于4,点B是平面α内动点,且满足AB=5,AD=10.则B、D两点之间的距离的最大值为 .
参考答案:
【考点】直线与平面平行的性质.
【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】记A、D在面α内的射影分别为A1、D1,由AB=5,可得出B在面α内以A1为圆心、3为半径的圆周上,由勾股定理能求出B、D两点之间的距离的最大值.
【解答】解:记A、D在面α内的射影分别为A1、D1,
∵AB=5,AA1=4,∴A1B=3,
即B在面α内以A1为圆心、3为半径的圆周上,
又A1D1=10,故D1B最大为13,最小为7,而DD1=4,
由勾股定理得BB、D两点之间的距离的最大值为: =.
故答案为:.
【点评】本题考查两点间距离的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
14. ﹣= .
参考答案:
【考点】二倍角的余弦.
【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用特殊角的三角函数值,即可得到所求式子的值.
【解答】解:cos2﹣sin2
=cos(2×)=cos=.
故答案为:
15. 已知,则
参考答案:
16. 设集合A={(x,y)|(x﹣3)2+(y﹣4)2=},B={(x,y)|(x﹣3)2+(y﹣4)2=},C={(x,y)|2|x﹣3|+|y
﹣4|=λ},若(A∪B)∩C≠?,则实数λ的取值范围是 .
参考答案:
[,4]
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】集合A,B表示以(3,4)点为圆心,半径分别为,的圆,集合C在λ>0时,表示以(3,4)为中心,四条边的斜率为±2的菱形,若(A∪B)∩C≠?,则菱形与A或B圆有交点,进而可得实数λ的取值范围.
【解答】解:集合A={(x,y)|(x﹣3)2+(y﹣4)2=}表示以(3,4)点为圆心半径为的圆,
集合B={(x,y)|(x﹣3)2+(y﹣4)2=}表示以(3,4)点为圆心半径为的圆,
集合C={(x,y)|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ>0时,表示以(3,4)为中心,四条边的斜率为±2的菱形,
如下图所示:
若(A∪B)∩C≠?,则菱形与A或B圆有交点,
当λ<时,菱形在小圆的内部,与两圆均无交点,不满足答案;
当菱形与大圆相切时,圆心(3,4)到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径,
当x>3,且y>4时,菱形一边的方程可化为2x+y﹣(10+λ)=0,
由d=得:λ=4,
故λ>4时,两圆均在菱形内部,与菱形无交点,不满足答案;
综上实数λ的取值范围是(,4],
故答案为:[,4]
17. 已知两点,直线过点且与线段MN相交,则直线的斜率 的取值范围是 _______________ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市,一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每次租用共享汽车上、下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:
时间(分钟)
次数
8
14
8
8
2
以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.
(1)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求的分布列和期望.
(2)若李先生每天上、下班均使用共享汽车,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).
参考答案:
(1)见解析;(2)542元.
试题分析:(1)首先求为最优选择的概率是,故ξ的值可能为0,1,2,3,4,且ξ~B(4,),进而求得分布列和期望值;(2)根据题意得到每次花的平均时间为35.5,根据花的费用为10+35.5*0.1得到费用.
解析:
(1)李先生一次租用共享汽车,为最优选择的概率
依题意ξ的值可能为0,1,2,3,4,且ξ~B(4,),
, ,
, ,
, ∴ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P
(或).
(2)每次用车路上平均花的时间
(分钟)
每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.
一个月的平均用车费用约为542元.
19. 已知函数
(I)求函数的最小值;
(II)若不等式恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
解:(I).
. ………………………………3分
当且仅当即时上式取得等号,
又, ………………………………5分
当时,函数的最小值是9. ………………………………6分
(II)由(I)知,当时,的最小值是9,
要使不等式恒成立,只需 …………………9分
即
解得或
实数的取值范围是. ………………………………12分
20.
参考答案:
21. (本小题满分12分)
过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径。如图,已知抛物线,过其焦点F的直线交抛物线于、 两点。过、作准线的垂线,垂足
分别为、.
(1)求出抛物线的通径,证明和都是定值,并求出这个定值;
(2)证明: .
参考答案:
解:焦点,准线
(1)时、,通径,、,是定值.
AB与x轴不垂直时,设AB:由得
,所以,是定值.
(2)、,
所以
方法二:由抛物线知:
22. 如图,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,
.
(1) 求证:平面;
(2) 若BC=3, 求二面角的正切值.
参考答案:
略